LETTRE DE CHARLES HERMITE A M. JULES TANNERY
directe surtout; elle repose en entier sur le hasard d'une formule de Jacobi, oubliée et comme perdue parmi tant de découvertes dues à son génie. Je vous l'envoie, mon cher ami, valent quantum, en vous informant que je serai revenu dans quelques jours, et à votre disposition pour tout ce que vous aurez à me demander. Et nous causerons aussi d'autre chose que d'Analyse, nous argumenterons, nous nous disputerons. De ma proximité de l'Espagne je rapporte des cigarettes d'Espagnoles; si vous ne venez pas en fumer avec votre collaborateur d'aujourd'hui, votre professeur d'autrefois, c'est que vous avez le cœur d'un tigre.
» Tôt us tuus et toto corde,
D Gh. HERMITE. »
SLR LA RÉSOLUTION
DK
Comptes rendus de V Académie des Sciences, l. XLVI, i858 (I), p. 71 5.
La théorie des formes cubiques à trois indéterminées conduit à plusieurs équations remarquables du quatrième degré qui jouent en particulier un rôle important dans la détermination des points d'inflexion des courbes du troisième ordre. L'étude de ces équations m'ayant fait remarquer qu'elles offrent la plus étroite affinité avec celles qu'on rencontre dans la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, il ne m'a pas paru inutile de m'arrêter à ce rapprochement qui peut-être conduira à comparer de même les équations du neuvième degré dont dépendent les coordonnées des points d'inflexion, avec celle qui se présente pour exprimer, par exemple, sinam - par sinam t. Cette analogie, d'ailleurs, m'a ouvert la voie pour représenter par les transcendantes elliptiques les racines de l'équation générale du quatrième degré, ce qui était le résultat auquel je désirais principalement parvenir. Avant d'exposer cette recherche qui se lie naturellement à celles que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Académie sur l'équation du cinquième degré, je rappellerai l'origine et j'indiquerai les propriétés principales de ces équations spéciales du quatrième degré, auxquelles conduit la théorie des formes cubiques à trois indéterminées.
Soient, en employant les mêmes désignations que M. Gayley ( • ),
(') Je renverrai, pour les expressions de HU, PU, etc., au beau travail du savant géomètre, publié dans les Transactions de la Société Royale, sous le litre : Third memoir upon Quantics, et je me bornerai à donner ici leurs formes cano-
L- une forme cubique quelconque, HU, PU, QU le covarianl et les deux formes adjointes du troisième degré par rapport aux indtHerminées, S et T les deux invariants de M. Aronhold, et S, une <|uantitë définie par la condition
S»-4-SÎ = T«, ces équations seront
(i) /(ar) = a:^ — 6S .v^—HTx - 3S« = o,
^^) /i(ar) = .r* — 6S,ar«— 8T:p— iS\ = o, (3) F(x) = iiSar* ^ 8Tar» — 6S«ar« — 6ST:p — T« — jS» = o,
et voici leurs propriétés essentielles. Soient 5 une racine de la première et A une racine de la troisième, les deux fonctions
oUh-ôHU, 6APU-+-QU
seront décomposables en facteurs linéaires. Désignons encore par 0| une racine de l'équation (2) qui a été déduite de l'équation (i) en permutant S et S|, on aura
en nommant d le déterminant de la substitution propre à réduire U à la forme canonique
a:' -4- j^* -+- 5* H- 6 fxyz.
Ces quantités 0, 8|, A auront d'ailleurs les relations suivantes :
niques qui sont :
U =z x^ -^yi^ z^-h 6lxyz,
HU = P{x^-^y^-^ c») — (i-h 9.P)xyz,
QU = {i-iol'){x'-^y^-h z^, -6/2(5-+- U^J^J^,
Ceci posé, je comparerai d^abord à Féqualion modulaire
r* -+- 2 M* i'' — 2 liV — M* = O
les équations (i) et (2). On sait qu'en faisant m = o((o), on a, pour (^, les quatre valeurs
or, en posant
Th-v/S»
on obtiendra, pour les quatre racines 8, les expressions suivantes :
Maintenant, si Ton change S en S|, afin d'arriver aux formules analogues pour les racines 8, de l'équation (2), on sera conduit au module
T 4- v/S? ' or à la relation S' -H SJ =: T^ correspondra, entre A* et /, celle-ci :
d'où résulte immédiatement cette conséquence que l'on passe
de 8 à 8{ en changeant simplement co en
Mais il est une (autre équation du quatrième degré que présente également la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, et à laquelle se ramènent d'une manière plus immédiate encore les équations (i) et (2). Je veux parler de la
relation entre le multiplicateur M et le module Ar, qui est, en faisant^ = 5(«):
En comparant cette équation avec Téquation (i), introduisant le module
et faisant usage de Pexpression de M donnée par Jacobi dans les
( *) Jacobi d appelé le premier Tattention sur ces équations qui olTreat un grand intérêt, en particulier pour cette théorie de la multiplication complexe, sur laquelle M. Kronecker a récemment communiqué à l'Académie de Berlin des résultats aussi beaux qu*importants. Mais, jusqu'ici, on ne connaissait que l'équation donnée par Jacobi, et qui se rapporte à la transformation du cinquième ordre. Celle que j'ai employée a été calculée par le P. Joubert qui, suivant l'exemple donné par M. Sohnke pour les équations modulaires, s'est occupé avec succès de leur formation, et les a obtenues pour le cinquième, le septième et le onzième ordre, sous les formes suivantes :
A-"( M -+-!)• ^W-iW;t'(M -1)1 /m -f- '-\
H-3.a«A'Ar''(iii-f-a»A-»A'')M'*-+-83.a".A-2A-''(A-»— ^'')M»
Un autre résultat très intéressant, obtenu aussi par le P. Joubert, consiste en ce que, si l'on nomme M, M', M", etc. les racines de l'équation pour le cinquième ordre, la fonction suivante des racines analogue à celle qui m'a donné la résolution de l'équation de M. Jerrard, savoir :
X = ( M — M') ( M'— M") ( M»v— M^), satisfait à celte équation
[M. Hermite donne ici la substitution qui peut ramener l'équation à la forme de Jerrard; mais, comme elle n'est pas exacte, nous ne la reproduisons pas.] E. P.
a6 (KtVRES DE CHARLES IIERIIITE.
Fundamenta, on obtient, pour les quatre racines 5, les valeurs suivantes :
I sin«am|K sin» am ^ (K -h «K')
sin* coam ^ K siii* coam | ( K -f- iK' )
sin«am | /K' sin» am ^(K— tK')
sin^coam i iK' sin' coam ^ (K— *K')
A ces formules je joindrai celles qui représentent les racines A
de Téquation (3), et où les fonctions elliptiques ont encore le même module, savoir :
j I -h cos' am ^ K i -f- cos* am - ( K -+- * K' )
iys A-- ;/s .i
1 siii«aiii^K sin«am ^^K-h <K')
