I -^ cos* am .. «K' i -»- cos* am 1* (K — iK

Vs ^ — Vs ^

1 sin<am.^<K' sin« am ^ (K — <K')

Voici donc, au point de vue où je me suis placé dans mes recherches sur Téquation du cinquième degré, la résolution de ces équations spéciales du quatrième degré qui s'offrent dans la théorie dos formes cubiques à trois variables. Ces rt'sultats, ainsi que je Tai dit plus haut, ouvrent la voie pour traiter d'une manière anah>guo Téquation générale, et parvenir à exprimer séparément les racines j>ar des fonctions bien déterminées. Mais, avant d'entrer dans cette rtH^hert^ho, qui exige des principes dont je parlerai dans un «utrt^ article, jo ferai encore une remarque essentielle sur les formules pi^Védentes, Elles dépendent du radical ^/S, et il importe de bien saisir de quelle manière elles subsistent dans leur ensemble lorsque Ton changt* le signe de ce radical. Considérons en particulier les formules ^^jk on reconnaît d'abord qu'en metlanl ■ \ S au lieu de ^ S, le module se change dans son complément, l)r, on sait |>ar la thtWie de la Ininsformation que le multiplicateur Mx lor:!;qu\>n v rt^mplaee il |^r k\ se change en — M. Nos formules restent donc les mêmes* |>arce que les deux facteurs

ÉQUATION DU QUATRIÉMK DKGRK. 1'

qui y entrent deviennent simullancmenl de signes opposés. Chacune des racines cependant ne reste pas la même lorsque l'on

change ainsi le module dans son complément, ou co en » et le

Tableau suivant, montrant de quelle manière elles s'échangent alors les unes dans les autres, fera bien complètement saisir toutes les conséquences de l'ambiguïté inhérente au radical que nous avons employé :

I sin» am I K

siii^ coaiii ^ K

sin'am ^ ils!

sin* coam - iK'

5in*am ^ (K-h«K') sin<coam .| (K -r- iK')

sin*am r: (K — «K')

sin« am 5 i¥J

sin* coam ^ «K'

sin^aiii j K

1 «in* c<»aiii .3 K I / i

sin«am ;J (K — «K')

sin<c(»am : - ( K — «K')

sin«aiii \ (K-^tK')

siii* coam - ( K — 1 K' )

sin' coam - ( K 4- t K' )

Les formules relatives aux racines A donnent lieu à des résultats entièrement semblables, et, quant aux formules (4), je me bornerai à remarquer que, les deux modules

iv/S»

et

Vs=»

étant réciproques, elles sont identiques au fond avec les formules (5) et peuvent s'y ramener par la substitution de — — à co. Je ne m'arrêterai pas non plus aux relations qui existent entre les racines de chacune des équations

et auxquelles conduisent aisément les expressions que nous avons données. Seulement j'observerai que ces équations, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques que j'ai employées, n'appartiennent pas au type d'irrationnalilés le plus complexe de

•28 OEUVRES DE ClIARLEâ HERMITE.

l'équation générale du quatrième degré. Effectivement, si Ton considère à leur égard Téquation en V' de Gai ois, dont le degré distingue et caractérise d'une manière si précise ce qu'on peut appeler les diveis oi cires (V irrationnalités, on la trouve seulement du douzième degré, tandis que dans le cas général elle est nécessairement du vingt-quatrième. 11 existe donc pour ces équations des fonctions non symétriques, exprimables rationnellement par les coefficients, et le type de ces fonctions est donné très simplement par le produit des cinq différences des racines. De là découlent, pour la théorie des fonctions elliptiques, d'importantes conséquences, se résumant dans ce fait : que le produit de deux fonctions o(co) et •}(oi) est le cube d'une nouvelle fonction également bien déterminée. Une formule depuis longtemps obtenue par Jacobi [Fundamcnta, § 36, équat. (4)] donnait déjà, il est vrai, la notion de cette nouvelle transcendante, mais sans conduire à aucune de ses propriétés, que je vais indiquer succinctement en terminant cette Note. Et d'abord je la définirai par l'équation

X(w) = ^2*yy(i-y)(i-i-^«)(i — y>)(i4-yM..M

en faisant touj':urs y = e"^<*>, de sorte que, relativement à co, on obtienne une expression entièrement déterminée. Gela posé, on aura ces relations qui se démontrent immédiatement, savoir :

Voici maintenant celles qui se rapportent aux substitutions de

la forme -. — , a, 6, c, d étant des nombres entiers assujettis à

la condition ad — 6c = i , et qu'il importait surtout d'obtenir. Distinguant, ainsi que je l'ai déjà fait dans une circonstance toute semblable, ces substitutions en six classes [voir ma Note sur l'équation du cinquième degré (')], et posant, pour abréger,

(') Page 8 de ce Volume. E. P.

un aura

■/.a^)=PX<«,(à)

c-t-</co \ y(o)) / -2 \ -i^(«6-i-crf)

(lïï) 5^(f^)=pX^)/^)

(IV) V /£Z1I^\ 0 Z>i (±) ^H^*"^^'-'"

<VI) /c^e/oi\ 7(co^)/'i\

Les symboles ( - ) » ( r ) indiquent, suivant l'usage, le caractère

quadratique du dénominateur par rapport au nombre 2.

J^espère pouvoir présenter dans une autre occasion les conséquences de ces théorèmes pour l'Arithmétique.