DES

Salmon, Algèbre supérieure , trad. O. Chemin, deuxième édition, 1890, p. SSy.

C'est dans la théorie des formes du cinquième degré qu'on voit s'offrir pour la première fois un invariant gauche, c'est-à-dire un invariant qui se reproduit changé de signe dans toute transformée de la forme proposée par une substitution au déterminant — i ,

telle que par exemple

ix = — X

ou bien

Si la forme du cinquième degré décomposée en ses facteurs linéaires est

«I> = a{x — x^y)(,x—xxy)(x — Xty){x — Xiy)(x - x^y),

son expression en fonction des racines s'obtient comme il suit. Posons, pour abréger,

( mn )= x,n — a?rt, on aura

:a"[(oi)(o4)(3Q)-t-(oa)(o3)(i4)][(oi)(o-^)(43)-f-(o3)(o4)(ia)][(oi)(o3)(42)4-(oa)(o4)(3i)] x[(i2)(io)(43)-+-(i3)(i4)(2o)][(ia)(i3)(o4) + (i4)(io)(a3)][(ia)(i4)(o3)-f-(i3)(io)(42)] x[(23)(ai)(o4)-h(24)(2o)(3i)][(23)(24)(«o)-h(2o)(ai)(34)][(a3)(2o)vi4)-h(24)(2i)(o3)] x[(34)(32)(io)-+-(3o)(3i)(4a)][(34)(3o)(2i)-h(3i)(3a)(4o)][(34)(3i)(ao)-+-(3o)(32)(i4)] x[(4o)(43)(2l)^(4I)(42)(o3)][(4o)(4I)(37)^(42)(43)(oI)][(4o)(4a)(3I)-^(4l)(43)(ao)].

Cela étant, je vais résumer dans cette Note plusieurs résultats relatifs aux facteurs de l'invariant gauche et qui donneront sous un nouveau point de vue la détermination des invariants dans les formes du cinquième degré.

Soient à cet effet ( * )

F =(oi)(o4)(3a)-h(o2)(o3)(i4), G =(oi)(o2H43)-+-(o3)(o4)(i2), H =(oi)(o3)(42)-h(o2)(o4)(3i),

et convenons de représenter par Fy, Gy, Hy ce que deviennent respectivement ces quantités, en ajoutant le nombre v aux indices des racines x©, x^^ ..., pris suivant le module 5. L'expression de l'invariant du dix-huitième ordre sera ainsi

K = a»«.FGH.F,G,H,.F,G,H,.F,G,H,.F4G4H4,

et en premier lieu je donnerai le moyen de connaître comment s'échangent entre eux les quinze facteurs, lorsqu'on effectue sur les racines une substitution quelconque. Or, à Tégard de la substitution \ ^ >> on aura pour résultats

F, F|, Ft, Fj, F4

— H, — H,, — H4, — Ut, — Hj

G, Gi, Gj, Gj, G4

— G, — Gj, — G4. — G|, — Gj H, H|, Hj, H,, H4 1 F, F„ F4, F|, F, S

La substitution ; ; donnera

-Fv.

( ' ^ I >>%*<►« mon Mëmoirp 5Mr l'rçuaîîcm du cin^miéme degré. Paris, Gaathier- VilUr» et HiRMiTS« CKuvrts, U II, p. 347.

Et comme toule substitution entre cinq quantités résulte de la composition des substitutions élémentaires

on pourra, par ce qui précède, connaître reflet d'une permutation donnée des racines sur Tun quelconque des quinze facteurs. En même temps que F, G, H, je considérerai les quantités

et je désignerai par/v» g^t fh ce qu'elles deviennent en ajoutant v aux indices des racines. Cela étant, on trouve que la substitution

I ^ > opère les changements que voici :

gt,

gii

— gi,

— <fi.

-gt

Quant à la substitution j ' |> elle donne pour résultats :

jO \ /» /»' /*» /'^ /* (.

( /, /Tsi /^, Al, /?t ^'

' /Ti ^81 /», /i, /it i'

2^ ( A? Ai, a,, /«,, Av 1

D'où l'on voit que les deux groupes de quinze quantités se permutent de la même manière, sauf certains changements de signes, quand on effectue les mêmes permutations sur les racines de la proposée. Mais le lien que nous établissons entre elles se justifie plus complètement, d'abord par ces relations où, pour abréger, on

(aS OBUVRES DE CHARLES IlERMITB.

fait

savoir

el ensuite par cette remarque que les divers produits

a»Fv/v, ««Fv^v, a«FvAv, a*Gv/v^ a*Gv^v, a*GvAv, a*Hv/v, a^Hv^v, a'Hy^v,

Cl t^lanl le coefficient du premier terme de la forme du cinquième dopn^, sont des invariants. Ces produits donnent lieu à ce fait til^(U)rique que neuf d'entre eui, correspondant à la même valeur ilo rindire v, suffisent pour en déduire linéairement tous les autres. On H, on effet, les relations qui suivent :

2F,/»= F/-GA4-H^, ^Gi^,= F^-hG/-hHA, 2H,A|= FA — G^— H/;

.2F,/,=-FA + G^-H/, îG,^, = -F/-4-G/i^H^, 2H,A, = — F^ — G/-l-H/i;

^F,/, = -F/i-G^-H/ 2G3^,= H-F/-hGA — H^, 2H,A,= — F^-^G/-+-HA;

2Fv/4 =-a-F/-+-G/i-^-H^, tiGv^v = -F^-hG/-HA.

Tous los autres sont d'une forme presque aussi simple, el en voici

II' IviM» :

jtF,A, = FA -+- G^- H. /i - srh

aH, Ji.', = F./ — A . - G/- II /*.

De là résulte la possibilité d'exprimer au moyen de F, G, H, d'une part,/, g^ A, de l'autre, des fonctions des racines de la forme proposée qui sont des invariants. Considérons, par exemple, l'expression

F/-+- F1/1 -^ Fi/î-+- F3/8-+- F4/,,

qui est évidemment cyclique. En vertu des relations précédentes, elle prendra cette forme très simple

Les fonctions FF<F2F3F4, HH,H2HsH4, qui sont également cycliques, s'expriment d'une manière analogue. En faisant, pour abréger,

j'ai montré dans mon Mémoire Sur l'équation du cinquième degré qu'on a

FF,FjF,F4 =F( M^h^-^YHhh'-irh'^l), HH, H,H,H4= H(- F«/3 -h FHff -hf'U).

On obtiendrait pareillement

GG, GjGaG, = G[- GH/-h)g^-^FH(/^-^/h -h h*)gr

Mais, dans ces formes si simples de fonctions compliquées de racines, le caractère cyclique de ces fonctions n'apparaît plus d'une manière évidente, et pour le retrouver il faudrait toute une théorie, qui me mènerait bien au delà de mon objet actuel. Je me propose en effet, en considérant des expressions non seulement cycliques, mais symétriques, d'établir que tout invariant dont V ordre est multiple de 4 ^st une fonction homogène de F^ et l ayant pour coej/icients des polynômes entiers en g et h.

Dans ce but, je considérerai les diverses déterminations de la fonction suivante

ii = (oi)(i2)(23)(34)(4o),

^c ' :■ lî.i'- -■• ;.i '=■111111 »»nt un iii\ariiint. Ces Il 11 .^.. '■- irr .m^t-qualre, siml deux à deiii r-r -. r*k-r— . -' -u\enl ainsi se réduire a douze, . fi -il .r 'iTi-- -t «ir-^i^nerai comme il suit:

= .. :■ 12 i >oi.

. — ■- ' i 4 1 1 3 1 1 jo >, — ■. ;i 1} 3i I i<»>.

= ' : : io iij ' I 3-2 ),

.= . J: Il .lO^ioi)-

;, .vir d ïiiLstitution ] ' {; u^ et l'o ont éle

.-•:u:i> :e ., et *-. par lu substitution ' .>

/ rav» )

, -"^ 1; 'itiiit le nombre / aux imliccs des

. ! •• '». < hi sait qu'à rorif^ine de \a

■ • - 1' I ■ ■■-.;' i-f **« nu mr fonctions sviiirtriques

. .. ..:• : I "..;>.> ft'S in\ariants fondameutaiii Ju

. ;:■ ■. ; .i 11/ il" nie ordre des formes du cin-

î^ .■ I. .•* .li.>i^nanl avec M. Sylvester Tinva-

,:• .•: ' .ir J r-i lo déterminant par D.

. - .; - :*] — «; •=— ii*J -3.5H'TÏ), .: - .] -.; =- i*J-r-3.5VHl.

■ »• . . .> .:-. i^ .1 trois des carrés conduit à

= , :>^ jSJK — 71)8 L — A), .. .. . . • i.-. . Il'- iu uième auteur. Or on a, comme

FORMES DU CINQUIÈME DEGRÉ. 43l

on le vérifie sans peine, ces deux systèmes de relation, savoir

2w«=-hA(HH- F), 2p^=H-/(H— F), 2Wo = — /i(H— F), 2i^o = — /(H-+- F),

21/, = -4-^(0- H), •2P, = -4- A(G-hH),

•2M4 = -^(G-4-H), 7.i^,=— yi(G-H), 2£/, = H-/(F- G), •2i;, = -^(F-h G),

W3 = — /^F-hG), aP, = H-^(F- G).

On en déduit, en faisant la somme des carrés, l'expression de l'invariant du quatrième ordre J, sous la forme

ai[i2F*-h G*-h n«)/«-f-(2G*-h H«-f- F«)/r*

et, si l'on écrit la somme des produits trois à trois, M^ajMj+..., de cette manier/ :

(wiH- Ul){u\-r-ul)(ul-hul)

-+- aîu{(wj-h mJ 4- a j -4- m| > -+- w| ai ( aj -+- wj -h w} -+- w{ ),

on parviendra à l'invariant du douzième ordre, exprimé comme il suit :

27 59(48JK — 768L— A)

H a»«(F2 — H«)*[(F« ■+- G*)^»-+-(G«-h H«)A«]/* ^a"(G«— F«)H(G*-f.H«)A«-h(H*-HF«)/»]^* -f-a'î(Hï — G«)»[(H«-hF«)/*-+-(F«-hG«)^«JA*.

Adoptant donc le discriminant o^ D =z a^ /'^ g^ h^ l'^ pour invariant du huitième ordre, la proposition précédemment annoncée se trouvera démontrée à l'égard de ces invariants fondamentaux, en observant que F, G, H n'j entrent que par leurs carrés, de sorte qu'au moyen des relations

G«-H« = 4//, H«-F» = 4/>?, F« — G» = 4 ih,

et de celle-ci qui en découle

41a OEUVRES DE CHASLE8 HERMITB.

ofi pourra effectivement les exprimer par F*, gj A, /. Novf «irtifaàrons aiosi

S^J = — a42F*(^»-i-^AH-A«)-i-{^— A)(2^»-»-^A — iA= l\

4,Sn48JK — 7r)8L — A)

=.a»«[F«(^-hA)V'^»-H4FW(^ — A)(^-i-A)«^«A« H-F«/*(^«4-4^'A-hi2^A« -h6^»A»— 5^A*

-h 6^' A»H- i2^« A« -h 4^A7-+- A» ) -2/>^A(^ — A)(^H-3^»A-+-8^*A«-Hii^A»-*-8^A^-5rf-*«].

Or, ces expressions sont des fonctions homogènes de F- et L dont \ii% coefficients sont des polynômes entiers en g et A. et il ea s<n d#; même par conséquent de leurs combinaisons entims qii r^fprésentent tout invariant de la forme du cinquième dep^ doat l'ordre est multiple de quatre. J'ajoute qu'un invariant donné De (leul être obtenu de deux manières différentes, comme nous venoas iU* le dire; car, en égalant deux expressions de cette natare. on arrive à une équation homogène entre F^ et /, qui pouvait doniifr

y- en ^ et A, c'est-à-dire une fonction de la racine x^. et pircoa-

»/;quent cette racine au moyen des quatre autres, puisque g ti^ un contiennent pas Xq,

Je terminerai cette Note par ce qui concerne, au même painl de vue, l'invariant gauche, et à cet effet, en posant comme plus haut

j'emploierai les relations suivantes qu'il est aisé de >érifier,

bavoir

2(a:v-a7,)F,G3 = H^'-+-GA',

2(j:,-a-5)H,Hv=FA'-hH/', 2(ar,- x,)}\^G, = G/'H- F^, 2(x,-a7,)GjFv= H^'— GA', 2(:r,-^i)F,F3 = FA'-H/',

2(a'4-:r5)GiH,= G/'-F^'.

On en déduit, en les multipliant membre à membre,

— 64/^AK = a'«FGH(HV'*— G«A'«)rF«A'«-^H«/'»)(GV'*— FV*).

Ecrivant ensuite

Ht^'î— G»A'*=H«(^'*-A'«) — 4//A'*, F«A'.HV'*=F«(A''-/'»)-4^^/^

et observant qu'on a

on en conclut immédiatement

K = a«» FGH \FUh —f)fh — //'«]

x[OH/-g)/g^lg'^]

et l'on reconnaît que lu quantité par laquelle est multipliée FGH peut encore être mise sous la forme d'une fonction homogène de ¥^ et /.

SUR L'INVARIANT &AUCHE

DKS

Salmon, Algèbre supérieurcy trad. O. Chemin, deuxième édition, 1890, p. 568.

On doit au P. Joubert ( ' ) la découverte intéressante de l'expression de cet invariant, qui est du quinzième ordre, au moyen des racines de la forme proposée. Représentons cette forme par

et posons

Uo =[x^Xo{Xi-^ Xjt^ Xi Xi) -h XiT^(X^-\- Xo—Xf — Xz)

-h J-iXiiXi -+- ^-4 — X^—Xo)]j

Vy = \x^XQ{X^-i- X^ Xy — Xi)-h X^Xfi J-^-h J?o ^i ^4 )

-+-^3^V(^1 -hXf— X^—Xo)]y

y^\ = [x^XoiXi-h X'^~ xi — X3 ) -4- X, :r3 ( J7« -+- Xq — Xf — Xi,)

-+- TiX,,( Xi -h Xi - X^ Xo)].

En convenant de désigner par U/, V/, W/ ce que deviennent ces expressions, en ajoutant le nombre k aux indices des racines pris suivant le module 5, on aura la valeur suivante de Tinvariant gauche du quinzième ordrç, savoir :

K = a'sUoL,U5r,LvVoV,V2V,V^\VoW,W,W3W4,

(') Voir Comptes rendus, i. L\IV, 1867 (ï)» P- '026.

SUR