D(5D — 4A»)( — ^— D(io8A — oAD — iooA') = o

Cela posé, on trouve, par le calcul direct du premier terme des fonctions intermédiaires et en supprimant un facteur numérique,

V,= BX»-h..., V5 = -NX«-f-....

Mais, pour la quatrième fonction, les expressions des différences des quantités X, données au paragraphe XX, montrent qu'elle contient en facteur le carré de l'invariant du dix-huitième ordre, et l'on trouve ainsi, pour le coefficient de son premier terme, l'expression

K'2 (/v/rvAvFvGvHv)«=25K«D,.

Quant à V5, on obtient K*D, d'où il résulte qu'en supprimant les facteurs K^ et K^ on retombe bien sur les criteria déduits de la forme quadratique

Di^*— 6BDfp - D(D, — ioAB)p«

-h D[— Bw«-f- 2D, wiv H-(9BD — ioADi)w»].

Je remarque [encore que l'équation en X donne un système simple des covariants doubles en x et x^ définis au paragraphe XI, et servant à déterminer par leurs signes le nombre des racines réelles de l'équation proposée /(j7, i)=o qui sont comprises entre les limites données. En effet, on peut prendre, en désignant toujours ces racines par Xo, X\^ . . ., et posant V =y(x, i),

<..,vy'£ii^2<£Jz£Ui£=^)t,i.,k„x.).

^d (X — Xo){X — Xi){X — Xf)

Quant à 'C>4, on supprimera le facteur K^, amené par les symboles ^ qui contiennent quatre des racines X, et enfin on prendra tî>, = y(a:', i)D. On voit qu'ainsi 'Ç^ sera du premier ordre, 'Ç^ du neuvième, X>% du vingt-cinquième, x?^ du treizième, et \?5 du neu-

vième. Mais j'arrive, sans m 'arrêter plus lon^emps sur ce sujet, a la méthode élémentaire, et qui donne pour les conditions de réalité les criteria du quatrième, du huitième et du douzième ordre, et au nombre de trois seulement. Elle se fonde sur ce que les quantités u., Uq, ... satisfont à Téquation suivante

u»« -4-(X -+- 3/Â)u»o-h ri(X — /ï)'-f- a1 u»h- (Dtt«

que Ton forme très facilement, et dont les coefficients seront tous réels si nous supposons le discriminant A positif, ce qui est, dans la question présente, le seul cas à examiner. Or, en revenant à l'expression d'une des racines, par exemple

on reconnaît immédiatement que, Xq étant réel, X2 et Xj imaginaires conjugués, ainsi que Xi et x^, on obtient pour m. une quantité de la forme m\/ — i, dont le carré est essentiellement négatif. En établissant donc que l'équation en u n'a que des racines positives, c'est-à-dire que son premier membre n'offre que des variations, on aura les conditions à la fois nécessaires et suffisantes pour que les racines de Tt^juation du cinquirine degré soient toutes réelles. Si l'on convient de prendre positivenjent y/A, on parvient ainsi à ces résultats fort simples

A > o, vl. -^ 3 /À < o, (D < o,

et il est visible que le cas des quatre racines Imaginaires sera caractérisé par un changement de signe des deux derniers criteria, en conservant la condition A > o ( ' ).

(') Nous n'avons pas signalé toutes les erreurs de calcul qui se IrouvaienL dans ce Mémoire, el qui onl clé corrigées par M. Bourgel. Celui-ci a refait tous les calculs, sauf en deux points. Il a admis que la réduite du cinquième degré de l'équalion du sixième ordre était exacte dans le travail du P. Joubert sur les équations du sixième degré ( Comptes rendus, t. L\IV). Il a admis comme exacte

également la formation de Téquation en / — ) (p. 4^3) et le calcul des premières

fonctions de Slurm. E. P.

SUR LES INVARIANTS