I. — Des déterminants

(«ousidérons n H- i équations du premier degré à /i -h i inconuuos« dont les coefficients soient des quantités littérales, savoir :

ax -^ by -\-cz -+-...-hAm = K, a'x -\-b'y -Jt-c'z -+-...-+- A' a = K',

l«e dt^nominateur commun des valeurs des inconnues, qu'on en- M^îgue ù former en Algèbre, et qui dépend seulement des coefficî^utH do ces inconnues, a reçu le nom de déterminant^ et se dô^it^ne par la notation abrégée

a«' 6^"' c^"' ... h'"' Ainsi, par exemple, pour deux équations à deux inconnues.

ax -i- by = K, a'x H- b'y — K ,

OU OC ri m

ab'-ba' =

Pour trois équations à trois inconnues

ax ^- by -1-0 3 = K.

vku écrira de même

i ^ ♦#/»* i' » -^r «r -»- Tel b' — cb a*— ac b' — 6a c' =

THÉORIE DBS POLYNOMES HOMOGENES. 4^7

Parmi les monômes qui entrent dans le déterminant (i) développé, on distingue celui qui sert à former tous les autres par des échanges de lettres, savoir : aV é ^ . . ., h^"^. On lui donne le nom de terme principal, et il est toujours affecté du signe -h. Ainsi aV et aV (? sont respectivement les termes principaux des déterminants (2) et (3). Des diverses propriétés des déterminants qui découlent immédiatement de leur loi de formation, nous énoncerons celles-ci, qui seront utiles plus tard :

i" L'expression développée du déterminant (i) a la forme

Aa -4- B6 -H Ce -+-. . .-h HA,

où A, B, C, ..., H sont des quantités indépendantes de a, 6, c, ..., A.

2" Un déterminant s'évanouit identiquement lorsque deux lignes horizontales ou deux colonnes verticales sont composées des mêmes termes. Ainsi, par exemple,

abc = ab — a6 = o,

if

= aa — aa = o,

a a c a' a' c' a' a' tf

3'* Un déterminant ne change pas de valeur lorsqu'on remplace les colonnes verticales par les lignes horizontales, de manière que le terme principal reste le même. Ainsi, par exemple,

= ab'— ba\

Les deux premières de ces propositions se trouvent démontrées dans les Traités de M. Lefébure de Fourcy et de M. Briot; nous laissons comme exercice à trouver la démonstration de la troisième. Mais une autre, qui recevra d'importantes applications, nous reste à établir; et nous allons d'abord la présenter dans le cas le plus simple.

Considérons à cet effet les deux fonctions linéaires

ax -+- by^ a'x -+- b'y.

et supposons qu'on y remplace x eX. y par ces expressions,

jr = aX-ha'Y,

elles deviendront respectivement

(aa -}-6PjX-+-(aa' -h6p')Y,

OU, pour abréger.