BY, B Y

Cela posé, je dis que le déterminant

et

sera égal au

produit des deux déterminants

La vérification se fait sans difficulté, dans ce cas très simple, mais on peut éviter tout calcul en raisonnant comme il suit. Considérons les deux équations

\ ax -+- by = K, I a'x-hb'y = K'.

On sait qu'en les résolvant on trouvera, pour le dénominateur commun des valeurs de x et )*, le déterminant

et de la

même manière, relativement aux deux autres équations

( AX -+- BY = K, \ -^'X-f-B'Y = K',

le dénominateur commun des valeurs de X et Y sera le déterrai- A B

nant

• Or, on peut trouver X et Y par les équations

x = ol\ -f-a'Y,

quand on y aura mis, au lieu de x et v, les valeurs fournies parles équations (4). Maintenant, et sans qu'il soit besoin d'effectuer ces calculs, on doit voir qu'en raison des valeurs fractionnaires de x et y, on trouvera pour dénominateur commun de X et Y le pro-

duit des dëterminanls

THEORIE OKS POLYNOMES HOMOGENES.

et

Ainsi ce produit doit

IA B I I qui, d'après les équations (5), A' B I

représente aussi le dénominateur des valeurs de X et Y.

A la vérité, cette démonstration n'est pas entièrement rigoureuse, mais elle met immédiatement sur la voie du théorème général que nous allons énoncer en prenant pour exemple les trois

fonctions linéaires :

ax -+- by -h c^,

a'x H- by -hc'-i, d'jc-hb'y-k-c^z.

Concevons qu'on y mette, au lieu de ^, y^ 5,

ar=aX-ha'Y-ha'Z,

elles deviendront respectivement

(aoL -+-6p -f-cY) X-H(aa' -+-6jJ' -4-07') Y-h (na' -f- 6^' -+-cy'')Z, (a'oL -hb'^-h c'y) X -h (a' a' -+- b'^' -+- c'f) Y -h (a' a' -h 6'P' -h c'y')Z, (a'a -h 6'P -+- c'y)X -h (a'a'-+- 6'P'-h c'y')Y -h (a'a'-f. 6'?'-f. c'y')Z,

ou, pour abréger,

AX -+-BY -f-CZ, A'X-4-B'Y -hC'Z, A^X-^-B-'Y-i-CZ.

►n aura comme précédemment l'équation