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est ce qu'on appelle Y invariant de ce polynôme. Cette dénomination, proposée par M. Sylvester, célèbre géomètre anglais, se trouve justifiée par le théorème suivant :

Soit

o;i,x«-i-2iibXY-+-aY*

la transformée du polynôme proposé par la substitution

a? = aX -♦- a' Y, r = pX-f-P'Y;

444 OEUVHES DE CHARLES HEBMITE.

je dis qù!on aura

iib e

c'est-à-dire que l' invariant se reproduira dans toute transformée^ multiplié par le carré du déterminant de la substitution.

En effet, effectuons la substitution considérée dans les deui membres de l'équation identique

et posons, pour abréger,

a(aL\-^0L'Y)-hb{^X-h?'\) = pX-hq Y, a'(aX-f.a'Y)-+-6'(pX-t-P'Y) = /?'X-h^'Y,

on en déduira

JUX«-i- aifeXY -f. eV» = (^X -f. ^ Y)«H-(/?'X -t- ^' Y)*, et, par suite.

Mais, d'après le théorème sur la multiplication des déterminants, on a

et il en résulte immédiatement, après avoir élevé les deux membres au carré, la relation qu'il s'agissait d'établir

.\. \Jb '

\jb e

Avant d'aller plus loin, donnons encore Ténoncé des théorèmes analogues pour les polynômes à trois indéterminées, afin de rendre plus facile la recherche des énoncés les plus généraux.

Soil, à cet effet,

= Ax»-^ A' >'«-*- A'i*-^- 2 B ri -h 1 B'zx -hiWxy, ce qu'on nommera Tiuxariant, sera le déterminant relatif aux trois

fonctions linéaires

c'est-à-dire

i/;= B'a:-+-A>-4-Bz,

= AA'A'-H2BB'B'— AB«— A'B'»— A'B'ï,

et Ton aura le théorème suivant :

Soit

^\^-h «V Y«-+- .VZ»-h 2 \S\> YZ -+- 2 Ub'ZX H- 2 Ub'XY

ta transformée déduite de f par la substitution

jr = atX-i-a'Y-+-a'Z, j. = pX-HP'Y + P'Z, z = YX^Y'Y-f.Y'Z,

V invariant de cette transformée sera égal à V invariant de f multiplié par le carré du déterminant de la substitution.

Ainsi on aura

Ub'

\lb'

Db*

llb

Ub'

Les applications que nous ferons plus tard de ces théorèmes en montreront toute l'importance, mais dès à présent nous allons en faire voir l'usage, en nous proposant de calculer l'invariant de cette forme particulière

Au lieu d'appliquer la formule (a), après avoir développé le carré de a a: -h p^-l-y^, pour mettre en évidence les coefficients

446 OEUVRES DE CHAHLBS HERMITB.

des carrés et des rectangles des variables, on fera

ax -^ ^y -h ^z = Z;

d'où résultera cette conséquence, que le polynôme proposé est la transformée de

(3) AX»-+-2BXY-4-CY«-}-Z«,

par la substitution précédente, dont le déterminant se réduit, comme on le reconnaît aisément, à y.

L'invariant cherché sera donc celui du polynôme (3) multiplié par Y^, c'est-à-dire, en appliquant la formule (2), égal à