Y*(AC-B

La notion d'invariant bien comprise, passons à celle du polynôme adjoint, qu'il importe également d'établir.

Pour cela, nous considérerons encore le cas le plus simple des polynômes à deux indéterminées, /= A^*-f- 26^^ -|- Cj^*, et nous rappellerons en premier lieu le théorème bien connu qui est exprimé par cette relation

Cela posé, cherchons ce que devient /, quand on y remplace x et y par les indéterminées j:» et j-q, liées aux précédentes par les relations

En nommant cp le résultat cherché, qui sera un nouveau polynôme du second degré, aux indéterminées Xq et yo, on aura ces trois équations.

entre lesquelles il s'agit d'éliminer ût eiy. Pour cela, multiplions membre à membre successivement la première et la troisième, la

THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. 447

seconde et la troisième, il viendra ainsi

^?/i=^o(a:jro^-7ro),

:; ?/j = ro (^^0 -H XTo ) î

équations homogènes et du premier degré en x et y.

Le résultat de l'élimination de ces deux indéterminées s'obtiendra donc en égalant à zéro le déterminant relatif aux deux fonctions linéaires

de sorte que » sera déterminé par cette équation :

9 A — jrj <p B — XqJTq j ^

çB — xoj^o ?^— rî I ""

Dans un instant il sera prouvé que ce déterminant contient le facteur ^ . Ainsi l'on arrive bien, après la suppression de ce facteur, à une équation linéaire; mais ce qu'il importe tout d'abord de bien saisir, ce sont les propriétés du polynôme en Xq et yo, déterminé par l'équation que nous venons d'obtenir.

Observons à cet effet qu'en posant

on aura

Le déterminant ci-dessus n'est donc autre chose que l'invariant de tj^, considéré comme fonction de x et y. D'après cela, faisons dans ce polynôme la substitution quelconque

!• ' fiw- ( M»^ .^''.ni«r m»» iiiii* jiiiïr i«iii. n.t- "h^-ut-aiu le "iî

I ^\ -X7 iB --r.r.

sB— X, r, i . — rj

Ni^

THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES

et, par suite, à celle-ci, après avoir divisé par ç^^

A B iFo

^0 Vo ®

Cette transformation de déterminants nous montre que le terme indépendant de o, dans Téquation

çpA — arj ?B--a?oJ^o

çB — j-o^o ?G— jK?

doit disparaître de lui-même. Cela posé, soit pour un instant

cette équation pourra s'écrire

e((pA — ojj, «B— a?oro, ?G— 7j)=o, et Ton tirera, en développant,

cp«e(A, B,G)-cp|e;a:j-heUoro-+-QcrSj = o;

d*où enfin

C'est là le résultat définitif auquel nous voulions parvenir; et le polynôme en Xq et y^ qui se présente comme numérateur de (f est ce que nous nommerons avec Gauss le poljnome adjoint de Ax^-h aBj:;^-!- Cy'^. Maintenant il ne nous reste plus, pour terminer ce sujet, qu'à donner quelques indications propres à faciliter aux élèves l'extension au cas général des raisonnements et des calculs précédents.

Soit, par exemple, le polynôme à trois indéterminées

/= Aar^-h X'y^-^ X'z*-\- 2Byz-\- iB'zx ■+■ ^B'xy. En prenant pour point de départ la relation

il s'agira de trouver ce qu'il devient en substituant k x, y, z les H. - II. 29

4So OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

indéterminées nouvelles

^0=-/i, rO=-/yi *0=-U

Nommons tf le résultat cherché; on sera conduit aux quatre équations

desquelles on déduira d'abord

;?/i=^o(^^o-+-JToH- -«o), ; ?/r = J^o ( ^^0 -^ ^'o -H 3«o ).

On observera ensuite qu'en posant

l' = ?/ — (^^o-«->7o-+-«^o)*, t^lloH doviennent simplement

^\ \\n\ en conclura que l'équation pour déterminer © s'obtiendra «>u t^^alant à zéro Finvariant du polynôme i. D'ailleurs cet inva- \m\\y i\ savoir

jpA— a-; çB'— Xo^o 9B'— Xo5o

(pB"— j?oK O-V — ^î çB — jo-zo

qW — ToZo oB— ^0^0 ©A'— 5*

»ora Miisceptible de la transformation exprimée par Téquation sui- >MUlt'

A H' B' xo

ir A' B ^0

©A— j-J oB'— j'o^'o ?B— ioJ^o

THÉORIE DBS POLYNOMES HOMOGENES. 4^1

à laquelle on parviendra en cherchant Finvariant du polynôme à quatre indéterminées

X = 4^ -4- ( araro -4- ^^o-f-««o -+-?")*.

Les choses ainsi préparées, en posant

on donnera à Téquation en '^ la forme suivante

Or, dans cetle équation, les termes ç' et (p^ existeront seuls, et, après avoir développé, ou en tirera

Cela posé, le numérateur de cette expression sera le polynôme adjoint dey, et o lui-même donnera lieu au théorème suivant :

Supposons qu* en faisant la substitution

j. = pX^P'Y-f-p'Z,

y se change en

F = XX«-t- JU'Y«-4- X'Zï-h aili, YZ -h 2ilJ>'ZX -f- aDb'XY,

(f restera invariable j si Von y remplace les coefficients de f par ceux de F, et qu^ony mette en même temps, au lieu de x^^ y^j Zqj les fonctions linéaires

En terminant, nous remarquerons que la forme explicite du polynôme adjoint de

Xx^-hiBxy -i- Cy* est

Cxi — ^Bxoyo-^- \yl,

el que la forme explicite du polynôme adjoint de

Xx^-\- \'y^-^ X" z^ -h iByz -^ 2B' zx -h ^B' xy

est

(A'A'-B«)arî-f-(A'A- B'«)>'î -h( AA'— B"»)^»

-f- a(B'B'— AB)j^o^o-f- a(B''B — A'B')«o^o-H a(BB'— A'B')a?o7o.

Elles nous seront utiles dans les questions suivantes.