ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. SOQ

par A, B, . . . , L, n fonctions arbitraires de a, ces conditions s'expriment ainsi :

, clfix, r. -»«w\, H. ...,L^

et nous nous proposerons encore de former, entre la fonction et les variables indépendantes, une équation aux différences partielles qui subsiste quelles que soient ces fonctions.

A cet effet, je conçois que x el y soient déterminés par les équations (i) et (2) en fonction de z, de manière à avoir toujours les relations obtenues page 5o3

dz , dz

di''^

dpy

dx^

d^z , , d^z ,, dr dy -^ dy^ -^

mais je procéderai différemment pour calculer les dérivées .r'= ^> y' =*-^j . . -, en mettant à profit une circonstance importante qui s^ofTre lorsqu'on veut tirer de ces équations les dérivées partielles -7^ et -J-- DifTérentiant pour cela la première par rapport à x^ en supposant a fonction de x^y^ 5, il vient

df d£dz dfd% du- dz dx dm dx '

OU simplement, d'après l'équation (2),

dx dz dx et l'on obtiendrait de même

dy dz dy

Or nous n'avons plus dans ces relations les dérivées des fonctions arbitraires par rapport au paramètre, et nous en tirerons les quantités cherchées x', j^, . . ., exprimées au moyen seulement de

5lO CBUTAB6 DB GHA&LBS BBBMITB.

A, B, . . ., L, en observant que -^t par exemple, étant une fonction entièrement déterminée de x ely^ que j'appellerai poev ua moment 6(â;, y)j on aura

d'où l'on voit qu'on devra écrire

d(^\ \jdx) d^s , flft^ ^

£/* "d^^^'^dxdy^'

et pareillement

ri"-") Vdfr/ ^ d^z

dz "^ dx dy

^' " ' ^z , rf«^

D'après cela, en représentant les dérivées partielles du premier et du second ordre par /», q^ r, «, /, afin d'abréger l'écriture, nous aurons, pour déterminer â/ et y^ ces deux équations

dx* dxdy^ dx dz

I d^f , dyf , d^J\ df . , .^

-ty

dx dy dy^ dy dz

I d^f , d^f , d^f\ df , ,

\dxdz dyUz-^ dz* J^ dz^ -^ ' '

et il est clair qu'en continuant de différenlier par rapport à ;;, ou formera de proche en proche les dérivées de x et y jusqu'à un ordre quelconque n — i, avec cette circonstance que les dérivées partielles de :; jusqu'à Tordre n seront introduites dans leurs expressions. 11 en résulte qu'en les substituant dans les relations (4), (5), (6), . . ., de la page 5o3, on sera conduit à un système de n équations entre ces dérivées partielles et les quantités a, A, B, . . ., L. Nous pouvons donc, en y joignant celles-ci,

A^iX, 3, a. A, B, ..., L) = o,

df df df ^ df

dy dz ^ dj dz^

ELIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. 5ll

effectuer rélimination du paramèlre et de n fonctions arbitraires; c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre n.

Nous allons en faire l'application à deux exemples tirés de la Géométrie, après avoir remarqué que les équations ci-dessus, en j/ et j^, jointes à la relation (4) de la page 5o3, savoir

px'-^qy — I = o,

donnent, par l'élimination de a?' et ^, la condition A = o, A étant le déterminant du système suivant

d^f d'^f df d^f d^f df

^ CW7* dx dz ^ dz dx dy dx dz ^ dz

d^f d*f df d^f d^f df

^ dx dy dy dz '^ dz dy* dy dz ' dz

' dxdz'^ dz^ ^ dydz'^ dz^ ^

Mais si l'on ajoute aux termes de la première et de la deuxième ligne horizontale ceux de la troisième, multipliés d'abord par p et ensuite par q^ on aura plus simplement

en posant

V. Nous considérerons en premier lieu les surfaces développableSy enveloppes des positions d'un plan mobile

^ -h aa? -H ky -h B = o, et nous aurons immédiatement

X = r, iU> = j, a = /;

d'où, par conséquent, l'équation aux différences partielles du

second ordre

s^— rt = o.

-XB,

dx*

d'f ■dyd^P^

dxdy

dyLp-^

d\f ^ dxdz^

d'f dy^

'dydz'^^

dz* *

5l2 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Soient, en second Heu, les surfaces canaux^ enveloppes des positions d'une sphère de rayon constant

dont le centre décrit une courbe quelconque. On obtient alors

-a^lo = I -f-/>*-h(-5 — a)r,

llli>= pq -+.(^a)*,

ia =H-ûr«H-(« — a)/,

et le paramètre a s'élimine au moyen des relations

qui donnent, en substituant dans l'équation de la sphère,

On obtient ainsi Téquation aux différences partielles du second ordre

a«(5*— /7)— a[(i-+- q^)r — ipqs -+-(i -t-/?* )^]v/ï -r-/?*-l- q^ La relation générale dont nous venons de faire usage, à savoir

Dl>2— ,1,3 =o,

peut encore se démontrer très facilement comme il suit. Je reprends, à cet effet, les deux équations

^{^yy, -5, a)=0,

pour les différentier successivement par rapport à x et^^, en supposant que le paramètre variable tiré de Tune d'elles en fonction de vT, j^, 5, ait été substitué dans l'autre. On obtient ainsi

d^ do d^ d'x d'^ do d^ di

dx dz t/a dx ~~ ' dy dz ^ doL dy '

dà d^ dà dT. d*h d^ d^ doL

dx dz ' di. dx dy dz ^ d% dy '

ELIMINATION DRS PONCTIONS ARBITRAI RBft.

et en remarquant que le déterminant

dff da, d<f d%

d% dx da cly

d^ dot d^ dT.

doL dx d% dy

s'évanouit, nous en concluons la relation suivante : d^ dff d^ d^

dz' dz^ d^

dy^ dz

Cela posé, prenons en particulier

df df ^{x,y,z,^)=^^-f^p.

dz'

1/ >. df df

on en tirera immédiatement

dx dz^ '

d^f • df

d^f d^f d^f d^f df

^dFdP'^dP^P^drdl''^dîiP'''^di'

d\f^^df

et, par suite, Téquation cherchée

VI. Nous ne nous sommes occupé jusqu'ici de la formation des équations aux différences partielles que dans le cas d'une fonction de deux variables. Considérons maintenant, par exemple, une fonction a de x, y, z^ en la définissant par ces trois équations, où entrent deux paramètres a, ^ et un nombre quelconque n de fonctions arbitraires A, B, ..., L de ces paramètres, savoir :

e(ar,^, z, u, a, p, A, B, ..., L)=o.

St4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

L*ëlîinination des fonctions arbitraires s^efTectuera par la même méthode que précédemment, et donnera pour résultat une équation aux différences partielles d'ordre n. La même conclusion s'obtiendra aussi en considérant les relations

^(x,j^, 2, M, a, p, A, B, ..., L) = o, ^=^» ik^^''

mais elle n'a plus lieu si Ton pose seulement deux équations avec un seul paramètre variable, savoir

T(^,r> *i "* «» A, B, ..., L)=o, 'Ka?,^» «» "» a» A, B, ..., L)=o,

car alors on peut former une équation aux diflérences partielles d\>rdre /i, représentant le résultat de l'élimination d'un nombre de fonctions arbitraires supérieur à n et égal à ^/i (n -f- 1 ). Et quand le nombre des quantités A, B, . . ., L n'est point compris dans cette formule, par exemple lorsqu'on le prend égal à quatre, de sorte qu'on ne puisse pas obtenir une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre, on parviendra, en introduisant les dérivées du troisième ordre, à plusieurs relations distinctes au lieu d'une seule. C'est là une circonstance que présente sou\ent l'élimination des fonctions arbitraires, et je vais en donner un exemple en considérant Texprcssion

où F|(«) et V'i{^) sont deux fonctions arbitraires de u et r, qui H ont des fonctions déterminées de x et i'. Qu'on forme, en effet, I es dérivées partielles du premier cL du deuxième ordre de 5, on obtiendra six équations où entrent les quantités

F,(w), Fi(//), ¥\{u).

^tK^h Fi(i'), ^\{vh

dont l'élimination ne sera pas possible, en général. Mais, en h'élevanl aux dérivées partielles du troisième ordre, on ajoute <|uatre équations en introduisant seulement deux nouvelles quantités F'j'(i/), ¥'l(u)^ de sorte qu'il deviendra possible de former iiutunt d'équations du troisième ordre qu'il y a de manières d'éliniiner buit inconnues entre dix équations. On doit donc avoir en

ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. 5l5

vue principalement les formes analytiques où l'élimination des fonctions arbitraires donne lieu à une conclusion précise, à une seule et unique équation aux différences partielles, et j'indiquerai encore celle d'Euler, savoir :

z = ¥i{x -^ ay)-\'Fi{x -\- by )-\-, , ,-^ F„(j--4- ly). En faisant

on trouve facilement

dy^ ^^ dx dy^-^ "^ ^ dx^ dy''-^ -H. • •-+- * ^^^^ - o.

Ainsi, par exemple, l'expression

z = Fi(ar -h ay)^ V^{x — ay)

satisfait à l'équation

qui s'offre dans d'importantes questions de Mécanique et de Physique.