Soit, pour premier exemple, les équations
X = mz -h a, ^= nz H- A,
qui représentent la génératrice d'un cylindre, nous aurons dz
dx dz^
dz dz
dx dy
l'équation aux différences partielles des surfaces cylindriques est donc
La ligne droite
dz dz
dx dy
X Xq — 3t(-3 — •^o/j
r — ro= A(3 — z^)
est la génératrice d'un cône ; on trouve alors
dz
Z^Zç,
dz
dy
Z — Zo
X — Tç,
dz
dz
ÉLIMINATION DBS FONCTIONS ARBITRAIRES. 5o5
et, par conséquent, pour l'équation aux différences partielles des surfaces coniques
dz
dz dx
(X-jr,)^(j.-.^0)^ =-5 — «0.
Les surjaces de révolution sont engendrées par la circonférence
ax -\- by -+- C5 = A, ce qui nous donnera
- x-œ, a dz ,
et par conséquent l'équation aux différences partielles
-^[a{z — 3„) — c(ar — a^o)J^, = b{x ^ x^)— a{y —y^).
Les conoïdes enfin ont pour génératrice la ligne droite
X — niz — p — rf.{y — nz — ^)=o, ax -h by -f- C5 = A,
qui se meut parallèlement au plan fixe ax -{- by -^^ cz = o^ et
rencontre la droite
X = niz -h p,
y =z nz -hq.
L'équation aux différences partielles se présente donc sous la
forme
X r , r .dz dz 1
(T^mz^p)^--{nb-^c)^^naj^^a^
qui devient plus simplement i^-niz-p)^^
lorsque le plan fixe est celui des xy
dz ^ dz
^ar — mz-p)-j^-h(y-nz^q)— = o,
5o6 OEUVRES DR CHARLES HBRMITB.
III. La Géométrie donne encore d'autres exemples qui conduisent à l'élimination de deux et de trois fonctions arbitraires. Soient, en premier, les équations
X — mz — p = A(z — a), y — nz — ^ = B(z — a),
représentant une droite qui rencontre dans toutes les positions la droite fixe
y—nz^q.
Nous trouverons d'abord
^' = B -h n, y = o, ar'=A-4-m, ar'=o,
et, observant ensuite que
{y — nz — h)K — {x — mz — />)B = o,
nous en conclurons
et, en éliminant -^^
(y — nz ^ q)x' — {x — mz — p)y' = /n( y — q)^ n(x — p),
ou bien
vx' — uy' = w,
si l'on pose, pour abréger,
u = X — mz — />, V = y— nz —q, w = m{y — q) — n{x — p).
Ayant d'ailleurs
dz .
dx
dz , dP^='^
il en résulte ces valeurs
dz
u -; r— KV
dy
dz dy
^- dz dz ' dx d.
-' - dz dz eix dy
BLIIIINATION DBS PONCTIONS ARBITRAIRES. :)U7
et réqualion (5) de la page 5o3 donne réquation aux différences partielles
: / dz \/ dz \ d^z / dz \«
h\''-^dpVV-dj:'V^d7^V-d^V =^-
' dx dy
Elle se simplifie si Ton suppose m = o, /? = o, n = o, ^r ^ o, de sorte que la droite fixe soit l'axe des z, et devient
dx^ ' d.r dy ^ dy'^ "^ "~
Les surfaces gauches à plan directeur ayant pour génératrice
la droite
ax -^ by -+- c 5 = a,
parallèle à un plan fixe
ax -h by -+- cz = o,
conduisent au calcul suivant.
Nous aurons d'abord
ax'-h by'-h c =: o, x'=X, puis
de sorte que l'équation (5) devient
dx* dxdy ' dy*-^
Cela étant, les deux relations
f » dz , dz ,
ax+by=-c, --x + ^y=^
donnent
, dz dz
. dy , dx
. dz dz ^ , dz dz
dx dy dx dy
5o8 OBUVIBS DB CBABLBS BBBHITB.
et Ton en conclati poar réquatiovi aux diffârences partielles,
Lorsqae le plan directeor est le fdan des j^, il faut supposer
6 = 0, c = o, et Ton a simplement -j-j ^ o; résultat évident a
priori, Télimination de a donnant ponr z nn binôme da premier degré en^.
Ce sont enfin les $urJ€Lce$ régliez dont la génératrice a pour éijuations
qui serviront d'exemple d'élimination de trois fonctions arbitraires. Or, ajant dans ce cas
acf = K, jr^=: o, V=o,
y=«t y=o, y'=o, les équations (5) et (6) de la page 5o3 donnent snr-le-champ ti^z A» d^z A d^z
^ A» rf»g A« d^z K d^z
dx* a* '^ d:r* dy at*' '^ dr dy* % '^ dy* '^ ^^
de sorte qu'en faisant pour un instant
"~ djTfir ~Y ^ drdv ) " dx^' dy « ^= -d^ -'
Téquation aux différences partielles du troisième ordre sera
rtx^ iljr^ dy djr dy- dy^
IV. La considération des surfaces enveloppes, où s'offre un mode de génération entièrement différent des précédents, conduit en Analyse à définir une fonction z de x et^ par deux équations contenant un paramètre variable x et dont Tune est la dérivée de l'autre par rapport à ce paramètre. En désignant de nouveau
