THÉORIE DES FORMES CUBIQUES A TROIS INDÉTERMINÉES

expressions

g = {ac — 6*)a7^-+- jL^ad — bc)x^y -\- (ae -h lôd — 3c^)x^y^

-h àibe — cd)xy^-+- (ec — d'^)y''^ h= {à^d — ^abc -\- xb*)x^

-h (a*e -h labd — (jac*-!- ^b^c)x^y -^{3ab€ — i5acd-h iob^d)x^y^

•+- ( — 5 ade -h i j bce — i o bd^ )x*y'' -+-( — ae^— ibde -h 9c* e — Çicd^)xy* l- (— be^-if 3cde — 'j.d^)y^.

Cela posé, je considère la forme biquadralique suivante en a et^,

savoir :

/=av— 24Sa»^ï— 8TaP'— 48S«PS

et si l'on en déduit, d'après les formules qui viennent d'être rappor • tées, les deux covariants «^ et /«, on aura ces formules remarquables, savoir :

T(aU-4-66HU; = - -h,

64S»r«U-f-6pHU)-T«(aU-h6pHU) = (6iS»-T*)/». Soit en second lieu

/= 48Sa*-+-8Taip-96S2a2p«— 7.4TSap»-(T*-hj6S»j|âS on obtiendra d'une manière toute semblable S(62PU-+-PQU)=--J^, T(6aPU-hPQU)=— i/<, 64S»(6GtPU-+-[iQU) — T^(6aPU^-SQU) = (64S»-'^)V'• Ces deux formes / du quatrième degré que nous avons employées successivement ont d'ailleurs entre elles cette liaison singulière que, si l'on désigne par A', A', A*'', A'" les racines de l'équation

x'^—i^Sx^'^HTx— î8S*=o,

les racines de Tautre forme, c'est-à-dire de Téquation

48Sa-*-+-8Ta^3— 96S«^2.j,.4TSx — (T«-+-i6S=») = o,

seront

Je reviendrai sur ce point dans un prochain travail, où je me propose d'établir entre autres choses cetce proposition qu'il en^isle toujours une substitution linéaire réelle pour réduire toute forme cubique donnée à coefficients réels à l'expression canonique

La même chose n'a pas lieu, comme on sait, ni pour les formes biquadratiques^ ni pour les formes cubiques à deux indéterminées.