f (acf) -(abf) ■ —{cgh) — (bgh

— {bcg) -+-(acA) -}-(c/h) -(a/g)

— (abc) -■^{fgh)

-^ ( bcf)

-+- (abh)

— (bcg) -i-{,ach)

— i(cfh) +i(afg)

-{abf) -h VL(bgh)

-^(acf) -^i(cgh)

-iabg) — i{afh^

— (bch) -^^(f>/g)

■^(abc) -Mfgh)

» Maintenant, si l'on désigne parSyetSF les invariants du quatrième degré de M. Aronhold par rapport aux formes cubiques / el F, le résultant sera

R = SF— ifiS/.

» Il se trouve donc exprimé au moyen des déterminants du système (A), et l'on voit immédiatement que, si l'on remplace o, ç', f par

il se reproduit multiplié par la quatrième puissance du déterminant

La démonstration suit d'ailleurs du même principe qu'a employé M. Cayley, en remarquant que, si l'on suppose

IOOl OKL'VRES de CHARLES IIERMITE.

U désignant une forme cubique, on aura

/=HU, F = — PU(t).

» Mais il est un autre point de vue sous lequel on peut envisager la détermination du résultant en recherchant, comme Ta fait le premier M. Sylvester, une expression analogue à celle du discriminant d'une forme cubique. Cette expression remarquable, dont la découverte est due à M. Aronhold, étant 64 S' — T*, l'analogie que nous voulons suivre conduit naturellement à essayer d'obtenir, par rapport au système des trois formes proposées, deux invariants combinants qui coïncident avec T^ et S' dans le cas particulier où ç, o', o" sont les dérivées partielles d'une forme cubique. Or M. Sylvester a déjà donné une fonction qui, dans ce cas, se réduit non seulement à T-, mais à T lui-même, ainsi l'analogie est à cet égard aussi complète qu'on peut le désirer. Mais il n'en est pas absolument de même en ce qui concerne l'autre terme du résultant qui, au lieu de devenir S', se présente comme une fonction linéaire de S' et T^.

» Les recherches suivantes conduiront, comme on le veut, à un invariant combinant qui se réduit précisément à S' ; mais leur objet principal sera surtout de donner un premier exemple de l'extension aux formes à trois indéterminées de méthodes appliquées seulement jusqu'ici aux formes binaires, et que j'ai développées dans un Mémoire du Journal de Mathématiques de Cambridge et Dublin, i855.

» Je rappellerai d'abord cette proposition dont je ferai souvent usage. Soient f=^^. Vx^y^z*^ un covariant et F(Ç, t,, Ç) un contrevariant par rapport à une ou plusieurs formes, en opérant avec/ sur F de la manière suivante :

2d d\'^ drif» dX^c'

on obtiendra un contrevariant, et si, d'une manière toute semblable, on opère avec un contrevariant G= 51Q5"^i^^^ sur un

covariant g^ le résultat > Q , ^ . s^-y ^^^^ ^^ covariant.

(') Voyez pour ces notations le travail du même auteur publié dans les transuctionH de la Société Hoyalc sous le titre : A ihird Memoir upon Quantics.

EXTRAIT d'une LETTRE A M. BOHCHARDT. Io3

» Par la suite, et pour désigner d'une manière spéciale ce mode d'opérer avec une forme sur une autre, je conviendrai de la notation suivante :

Supposant par exemple que / et F soient le covariant et le conlrevariant cubique, par rapport aux trois formes quadratiques o, ©', o". dont les expressions ont été données plus haut, on trouvera

/>^F= e(as'h)ibc/)^6{b/h)(ach)-^6(c/ff)(abh)-S{a/^)(bfy)

— %{bgh){cgh) - S(cfh) (a/h) -^{abf){acf) -4- ^{bcg){abg)

— ^(ach) (bch) -- i( ab/) (cgh ) -h 'jL{abg){cfh) -h 'i(bcg){a/h)

— i{bch){afg) -4- i(ac/){bgh) -^ i(ach ){bfg) -f- i{abc) (fgh) ^S(/gh)*^(abcy.

C'est précisément, sauf le signe, la quantité T dont M. Cayley a donné un autre mode de formation, et l'on aperçoit immédiatement le lien de cette expression avec l'invariant de sixième ordre des formes cubiques, car, en supposant

1 dV , i dV , i dV

3 dx ' ^ dy ' 3 dz

^lle se réduit à l'invariant du sixième ordre de U. » Faisons, en second lieu,

çp 5f<< F = /Ç -+- mr^ -+- /i?, cp' î^ F = l'^-h m'r^ -^ /l'Ç, ^t posons

ce déterminant sera un invariant combinant du douzième ordre par rapport aux formes données, et si, comme tout à l'heure, on fait l'hypothèse

"^ " -^ dx" "^ ^ ^ dy' "^ " ^ dz'

on aura précisément

104 CeUVRES DK CHARLES IIERMITK.

expression analytique qui réalise, autant que possible, cette analogie avec le discriminant d'une forme cubique que M. Sylvester a le premier reconnue.

» Mais le fait qu^il importe principalement de remarquer, c'est l'existence des trois contrevariants linéaires simultanés

o -^i F, o' ^< F, cp' 5K F,

par rapport au système des formes quadratiques proposées. En elTet, si Ton en déduit, en transposant, la substitution suivante :

a? = /X -I- /' Y -+- rZ, Y = mX H- m' Y -f- m'Z, ^ = nX -h n' Y + /l'Z,

et, qu'après l'avoir efl'ectuée dans ©, cp', cp", on désigne les transformées obtenues par '|, «V, A", on aura ces deux propositions :

» 1° A, <j/', i'' sont les dérii'ées par rapport ^ X, Y et Z d'une même forme cubique,

» Ce second résultat offre le premier exemple de l'extension aux fonctions à trois indéterminées de la notion des formes types, que j'ai introduite dans l'étude des formes binaires de degrés impairs et en partant des covariants linéaires propres à ces formes. Vax second lieu, considérons, en faisant abstraction pour plus de simplicité du dénominateur, la substitution inverse de la précéd<;nte, savoir :

X ^ (m' n'—n' ni'').v -\rin r-^r n'')y-^{i m'-^m' l'')z = Lx -t-M^- -h N;:, V ^inm" —mn'')x -^{In" —ni" jy-r-Unl" — lm'')z= XJx-^Wy^ N'5, / ^(mn' --nm')x-r-{tii ln')y-^{lm' — niV) z = Vx-^Wy-^^'z,

id*% trois fonctions linéaires seront évidemment des covariants siiiMjllunés de o, o^ ^"^ de plus

0 = 9X + o'Y-ho''Z

EXTRAIT D UNE LETTRE A 11. RORCIIAIIDT. lo5

sera un covariant cubique et

â= f^{Lu-hMv -h Niv) -4- o'(L'a 4- MV -t- N'w) -+- «p^I/w -^ MV -f- N'w)

un covariant double, en «, v, w d'une part et x^ y^ z de l'autre. Or on a la relation

d'où