S = L?-^L'?'^LV

Ainsi les mêmes quantités /, /?i, /i, . . . se présentent dans la translorniation de variables comme dans la combinaison sjzygétique par laquelle on ramène les formes quadratiques proposées aux dérivées partielles d'une même forme cubique. On peut d'ailleurs aisément les calculer par la remarque suivante*: Nommons 4>, 4>', ^ les formes adjointes de o, o', ç'', et considérons le déterminant

dx dx dx

dri do' d^"

dj' dy dy

dy do' d':;

dz dz dz

^^ le mettant successivement sous ces trois formes ^ dx dy dz

^ dx

..do"

orc'

dy do ~d?

on aura

<p' ^ F = Ç4>' ?« 4^' 4- r,^' ^ OR' 4- ;*' ^ X',

loG OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

» L'analyse précédente s'applique évidemment à l'étude de deux formes cubiques binaires simultanées et conduit à l'égard de ces formes à des résultats entièrement semblables à ceux qu'on vient (le voir. C'est une extension nouvelle donnée ainsi à l'analogie qu'ont révélée les découvertes de M. Hesse et de M. Aronhold entre les formes cubiques ternaires et les formes biquadratiques binaires, et qui doit compter, ce me semble, parmi les résultats les plus intéressants de l'Algèbre moderne. Peut-être pourrais-je y revenir plus tard, mais avant de terminer j'indiquerai encore, puisqu'il a été question plus haut des formes types, comment on peut étendre au cas d'un nombre quelconque d'indéterminées la notion des formes canoniques telle que je l'ai donnée ailleurs pour les formes binaires. A cet effet, j'admettrai Texistence de deux covarianls quadratiques

par rapport à la forme ou au système de formes donné. Cela posé, la substitution linéaire de :r, ^, 3, . . . en d'autres indéterminées X, Y, Z, . . . qui fournira la réduction à la forme canonique, sera définie par les conditions

..) = «X«-T-^»Yî-4-cZ»

..) = «X«-^pYî~YZ«

» On verra aisément comment se présentent, en partant de là, les propositions fondamentales que j'ai données dans le cas des formes binaires.

» Paris, i4 février 1860. »

EXTRAIT DE DEUX LETTRES A M. DORCHARDT SUR l'invariant