APPLICATIONS A L'ARITHMÉTIQUE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LUI, 1861 (II), p. tti î et Jou,rnal de Mathématiques pures et appliquées^ 2*sér., t. VII, 1862, p. 25.

^* Depuis noire dernier entretien sur les questions arithmétiques ^'^^ sont l'objet de vos recherches et où vous m'avez donné un ^ouvel exemple de la grande fécondité des méthodes dont vous ^^ïiservez le principe, je pense avoir réussi, dans une certaine me- ^^re, à donner satisfaction à un désir que vous m'avez plusieurs ^is exprimé relativement aux beaux théorèmes de M. Kronecker '^^r les nombres de classes de formes quadratiques. Ces théorèmes, H.^i semblent par leur nature devoir naturellement entrer dans le ^^rclede vos études sur les fonctions numériques, restaient cependant comme isolés et appartenant à un ordre d'idées très distinct ^11 la théorie de la multiplication complexe dans les fonctions elliptiques paraissait seule pouvoir donner accès Les démonstra- ^ons du P. Joubert découlent en effet de cette théorie où la notion fie classe de formes quadratiques s'offre de la manière la plus nécessaire et joue le rôle le plus important. J'attache à ces démonstrations un grand prix, car elles éclairent et étendent la théorie arithmétique des formes en montrant que les théorèmes donnés il j a si longtemps par Gauss sont autant de propriétés des fonctions

MO OELVllES DK CllAHLES UERMITK.

elliptiques, et elles ajoutent un des plus remarquables exemples de ces liens cachés qui réunissent l'analyse transcendante à Tarithmétique. En parvenant par une autre voie à ces théorèmes de M. Kronecker, c'est à l'ordre d'idées qui vous appartient que je pense les a\oir rattachés de la manière la plus directe, et, si je ne nie trompe, dans le sens même de vos prévisions, car la notion arithmétique de classe se trouve remplacée par l'idée beaucoup plus simple et plus élémentaire des formes réduites.

» Je suis parti des identités que fournit le développement des quotients de fonctions O, en séries simples de sinus ou de cosinus, et dont Jacobi a montré le premier la grande importance en découvrant de cette manière l'expression du nombre des décompositions d'un entier en quatre carrés par la somme des diviseurs de cet entier. Une extension fort simple de ce procédé consiste à considérer, au lieu seulement de sinaniw, cos am:;, Aam^, les produits de fonctions doublement périodiques par des puissances de quantités B, c'est-à-dire des expressions ajant la période 4*^5 ^^ ^^ multipliant par un facteur exponentiel, lorsqu'on ajoute 21K' à la variable.

» En faisant z = —^^ et posant avec Jacobi

6(z) = i — -iq cos'ix H- 'iq^ cos4ar — -iq* cos6j" -h — ,

Il (z) = 2\ y sinj» — 'À\ (/^ sin3j"-+- 'i\ y** sin jjr —

Si{z)= i -^ iq cos'ix -T- 'iq^ cos4 J" -+■ 27* cos6j?-h. . ., n,(^) = ■2\ q coux ■+- i\ y» cos3x H- %\ q** cos jor -h. . .,

de sorte qu'on ait

I l\{z^ ^ /F lU(z) ^ /r.^i^-)

'""'""'^Txë^' '"'"'"' = \^T -0(77' •^^^^ = v^^" ë(7)'

les plus simples de ces fonctions seront

Iï(5>e,f5> H,(;î>e,(3> H(^)H,(.s)

— STTT-' ^,z) ' — ë[7T— ' \\^{z\ u\iz) a^Uz)

H(C) Hi;;) «(5)

Si on les développe en séries do sinus et de cosinus, on trouvera,

LETTHE ADRESSÉE A H. LIOUVILLE.

pour les premières,

^ -ë(I) s.nxw ^

-h sinHx\'<79 (i -+-«27-»)