DIX-HUITIÈME ORDRE DES FORMES DU CINQUIÈME DEGRÉ

ET SUR LE ROLE QU'IL JOUE DANS LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ.

Journal de C relie, t. 59 (1861), p. 3o4.

«... J'ai entrepris, en suivant la méthode de M. Kronecker, de creuser un peu plus à fond la résolution de l'équation du cinquième degré Chemin faisant, j'ai eu à étudier Tinvariant du

dix-huitième ordre des formes du cinquième degré qui joue un rôle fondamental dans la marche que j'ai suivie. Peut-être vous intéressera-t-il de connaître comment il s'exprime au moyen des racines Xq^ Xij X2, Xi, Xs de la forme représentée par

/= a(x — xs^y) {x — xxy) (x — xty){x— Xzy)(x — x^y).

Voici le résultat que j'ai obtenu. Soit, pour abréger,

(mn) = x,„ — xnj on aura

:a»!(oi)(o4)(32) + (o2)(o3)(i4)ll(oi)(o2)(43) + (o3)(o4)(i2)n(oiXo3X4a)-+-(o2)(o4)(3i)^ xl(i2)(io)(43)-f-(i3)(i4)(-2o)jJ(i2)(i3Xo4)4-(i4)(io)(a3)l|(i2)(i4)(o3)-f-(i3)(io)(42) X !(ï3X2iXo4)-4-(24)('2oX3i)j i(23Xa4Xio)H- (20X21X34)! 1 (23X20X1 4) -+-(24XaiXo3) X l(34)(32Xio)-+-(3oX3iX42)! l(34X3oX2i)-+-(3iX32X4o)l î(34X3iX2o)-+-(3oX32)(i4) x!(4oX43X2i)-+-(4iX42Xo3)il(4oX4iX32)-+-{42X43Xoi)n{4oX42X3i)-i-(4îX43X2o)

Les quinze facteurs ont été réunis trois à trois de manière à former cinq produits, symétriques chacun par rapport à toutes les racines

io8 (jetvnES de ciiarlks ueriiite.

moins une. Le produit total est donc bien symétrique par rapport à toutes les racines, et Ton reconnaît d'ailleurs immédiatement qu'il représente un invariant, car il ne change pas quand on remplace les racines par leurs inverses et qu'on les augmente d'une

même quantité

» Désignons par Xo, X,, X2, Xi, X» les cinq produits de trois facteurs, dont se compose l'expression de l'invariant 1, de sorte que

Xo= i(oi)(o4)(3-.>.)-h(o2)(o3)(i4);

X l(oi)(o3)(43j-4-(o3)(o4)(iA)i!(oiUo3)(4'i)-+-(o!i)(o4)(3i);...,

on peut écrire

I = a»«XoX,X,\5X,,

et X^ sera une fonction rationnelle et entière de la seule racine Xk- Cela posé, les quantités suivantes :

^o = a«Xo(i';i)(i3)(i4)(23)(-24)(34), 5, =««X,(23)(24)(2o)(34)(3o)(4o), 5, = «6Xî(34K3o)(3i)(4o)(4i)(oi),