I-+-7* l-hq

ou encore

çr"»»

elles donnent

— sin ain-H (z)=: ^, = Ae(;:) — 8 (o)Z,

■—cosam;?!!, (;:)== I—— -11 J = Be(;:) - e,(o)Z,

— A am ^ei(\3)=î^ ^^ =Ce(z)-lî,io)Z.

» Ce second groupe de fonctions se distingue essentiellement du premier par la présence des fonctions complètes A, B, G, dont voici le caractère arithméj.ique. Désignant par n les nombres entiers ^ 3(mod 4), on aura d'abord

le coefficient a„ étant la somme des valeurs de l'expression

en prenant pour d tous les diviseurs de n inférieurs à sa racine

LETTRE ADRESSÉE \ M. LIOUYILLK. iri

carrée; nous le représenterons ainsi

» Faisons ensuite, en supposant n pair,

» Si l'on désigne par d les diviseurs impairs de n inférieurs à sa ^"ï^cine carrée et par d' les diviseurs impairs plus grands que sa ra- ^^ i ne carrée, on aura

» Voici donc deux nouveaux exemples de ces parties de fonct-îons que Kronecker a introduites en arithmétique et qui s'offrent :^ous un point de vue si différent dans les recherches délicates et (ii^rofondes de ce savant géomètre sur les modules qui se rapportent À la multiplication complexe. Par cette nouvelle origine, elles se l^rouvent rattachées de la manière la plus immédiate à l'ensemble c3e vos travaux sur les fonctions numériques, et peut-être même ne ssera-t-il pas impossible de définir par des équations différentielles les fonctions qui leur donnent naissance en partant de ces expressions :

» Je remarque encore, comme un nouveau irait de la distinction à établir entre les fonctions (i) et (2), que la quantité Z(j7),

qui donne A et B en y faisant x=^o et x=^-> conduit, pour

X = ^ » à cette relation

Il4 on: LYRES UK CHARLES II ERMITE.

dont le développement a la forme

Le nombre /i est ^ — i (mod 8) ; /cn est la somme des quantités

pour tous les diviseurs de n inférieurs à sa racine carrée, c'est-àdire encore une partie de fonction. Au contraire, dans ces cas et d'autres analogues, les développements des expressions (i) ne conduisent jamais qu'à des fonctions numériques complètes. » Après ces deux groupes de fonctions, la suivante :

pourra ser>ir d'exemple du cas le plus simple qui s'offre ensuite dans la série des expressions obtenues en multipliant par la première puissance d'une des quantités O, une fonction doublement périodique. Elle donne, en désignant par tV une constante, ce développement

K ^ /iXK l|î(c)e,(5^

= =tei(^»

— CCS 4 j-^^ ( \ 9 * — 3 \ q-^)

^^ On doit donc encore regarder =1. comme une fonction complète« dont la \aleur, sous une forme analytique toute semblable à celle de V, U. C sera

' Mais« tandis que A« B« C se rapportent sous le point de vue

LETTRE ADRESSEE A M. LIOLVILLE. I l J

«j ri thuié tique aux fonctions des diviseurs des nombres, el», coinnie -^ous allez voir, conduit aux fonctions qui expriment le nombre <les classes quadratiques pour toutes les formes de déterminant — /i, di étant ^ 3 {^moA 4).

» Four le démontrer, je regarde 1 expression — — comme

le produit de ces deux facteurs

et — = v'^sin am^;

or nous avons trouvé

K H(5)e,(wj

— sin j^\ f/

-T- sin >ar \ q^* ( i -r- 'iq~^ -+■ 29-*)

'<i nombre a devant prendre les valeurs

€1 = 0, rhi, ±2, ..., zh/*, 'CM Ton a

/FK H(;;) • \^q • . /t"' • . /t^

-: = Jt sin J- — ^ — T- '2 siiiJj* — ; -t- 'À sin tx — ^ — ; -f- etc.,

^le sorte qu'en multipliant membre à membre les deux séries, ou ^levra précisément retomber sur le dé\eloppement ci-dessus de

K /'AkK HHz)ex{z) 'Xt\ r, S^z)

On trouve ainsi, en se bornant au terme constant,

"^ = 2< ,-y««H-i V 5-""^"' ' ' -^ ay -' + •^.?-' -+-. . .+ 27-"'),

^ ,,yl/I+l J >

expression qu'il est aise de développer suivant les puissances de r/

Il6 ŒUVRES DE CHARLES IIERMITE.

en remplaçant la fraction

par

6 désignant tous les nombres entiers de zéro à Tinfini. En posant

N=(2n-+-i)('2/n-4^-+-3) — 4cr«,

et désignant par /^(N) le nombre de fois que cette équation aura lieu pour une valeur de N, en supposant n et b entiers et positifs, a compris dans la série

o, ±1, ±z'jL, ..., ±n,

on aura évidemment

» Ceci posé, j'observe que la valeur de N représentera tous les nombres entiers ^ 3 mod 4? et qu'on peut l'écrire de ces trois manières, en faisant correspondre à chacune d'elles une forme quadratique de déterminant — N, savoir :

N = (-2/i-+-i)(4/i-H4*-i-4 — 4«)--(2/i-hi — 2a)«,

(2/1-+-I, 2/1-1-1 — 2a, 4^* -H4o-i- 4 — 4«), ( N =(2/i-hi){4/i-+-46-^4 -i-4a) — (2/i-hi-4- 2a)«, / (2/1-I-I, 2/i-î-i-^2a, 4/n- 4^ -+- 4 -^ 4«)-

» En employant la première pour les valeurs de a inférieures,

abstraction faite du signe à la limite - — p- > la forme quadratique

correspondante représentera toutes les formes réduites de déterminant — N, où le coefficient moyen est pair, et qui sont, par conséquent, de l'ordre proprement primitif, chacune d'elles étant prise une seule fois. Les classes ambiguës seront renfermées dans ce preinier groupe et correspondront à a = o(Gauss, Rech. arith., p. 288). Pour les valeurs de a qui vont de la limite inférieure^