LETTRE ADRESSEE A M. LIOUVILLE. II

— à la limite supérieure /i, nous emploierons la seconde expression en leur attribuant le signe H- et la troisième en leur donnant le signe — . On aura ainsi, deux fois répétée, une série de farzTkes (/?, y, r) de déterminant — N où se trouvent satisfaites les

conditions

^>o, iq<Py >q<r.

» En permutant/? et r lorqu'on aura p> r^ cette série donnera

toutes les formes réduites de déterminant — N où le coefficient

moyen est impair et positif, l'un des coefficients extrêmes étant

atissi un nombre impair. On doublera leur nombre si Ton y joint

les formes opposées (/>, — ^t'') qui en sont distinctes et appar-

tîei:^iient à des classes différentes, puisqu'il n'existe point de formes

^ïï^l>iguës ayant un coefficient moyen impair. Par conséquent, à la

•-Ol^àlité des deux séries de valeurs positives et négatives de a cor-

«•espond exactement la totalité des formes réduites, proprement

pi'îrnilives du déterminant — N. Ainsi la fonction /'(N) qui s'est

^flferie d'abord comme la somme des nombres de solutions des

^C|^*^tions I, II et III, reçoit cette nouvelle et importante signifi-

^a t. ion arithmétique de représenter le nombre des classes propre-

*^eràl primitives de déterminant — N. L'équation

^^vîsagée sous ce nouveau point de vue, montre l'importance de

^ fonction complète de l'expression f ^' et va donner très

^*^éraent l'un des théorèmes de M. Kronecker. » Je fais pour cela j: = o dans l'équation

— cos G xq9 ( ( ^ -4- 3 \ 7^9 -H 5 \/</-«)

Le premier membre s'annulant, on voit immédiatement que le second membre, ordonné suivant les puissances de y, donne une

Il8 OeUVRKS DE CHARLKS IIKRMITK.

!>érle dont le lerme générai est

L'exposant N est ^ 3 (mod 4)i 51 ^' représente la somme des <

viseurs de N supérieurs à sa racine carrée, et ^ rf la somme d diviseurs qui lui sont inférieurs.

» Le coefficient de (jr* est donc précisément la fonction design par ^*(N) et définie dans le Mémoire de M. Kronecker au moy de la relation

En employant cette notation, on pourra donc écrire

et en égalant dans les deux membres les coefficients d'une mêi puissance de q^ on trouvera

Or cette relation est donnée en ajoutant membre à membre équations (V) et ( VI ) du Mémoire de M. Kroilecker, et observî que la fonction o (m) qui y figure s'évanouit pour m = N =i 3 (mod » D'autres théorèmes résultent d'une détermination diflcrei de -t. En premier lieu, je fais le produit des deux séries

0i (z) = 1 -f- xqcosix -{- 2<7* cos4^ ■+■ 'iç^ cos6a: -h. . .,

7 TrTT — r = y ^— : cos '>.T — - — - — cos J x ^—r • • • »

2tJ e*{z) ^i — <7«« I — <7« * 1 — 7^

qui donne pour le terme constant dans le second membre l'e

pression

2nq" ^ ny«'-^'*

» Ce même terme s'oblenant aussi en intégrant entre les limi