LETTRE ADRESSER A M. LIOUVILLE
Or on obtient aisément la valeur du premier membre. Inlroduisox^s dans l'intégrale x au Heu de z = - — -> ce qui donnera
mme en changeant y en — 9, les cjuanliu''s
*2ï viennent
, e,(3), ell(;), 6(5), %i aura
^-^'^^'^rV/ — j. eî(.) '''•
-^dais, par la substitution de - — x à ar, l'intégrale se change en ^^«Ue-ci :
^'où résulte
it
«t, par suite, à cause de e' =î= — i ,
,,ri. .x\--^^i /^^^ r [H'(J)-4-X'HÎ(^)]e,(^)
Or on a
H«(i;)-f-A:'H;(z) = A-eî(^), il S'ensuit que
'>.T.{\> — zXi) = 1/ / k%i{z)dx = - 1/ f ""Z" ) '
et Ton en conclut la relation
l'i'Jt OEUVRES DE CHARLES lIERillTE.
qui est l'expression de ce ihéorèine arithmétique que le nombr^e? des représentations d'un entier N^3(inod8), par la form^^^ x^ + JK^ + 5'^, en supposant x^ y, z de même signe, est précisémen égal au nombre des classes quadratiques du déterminant — N pou^c^ " lesquelles un au moins des coefficients extrêmes est impair.
» Quant au cube de I /— ou B| (o), il est donné sous une forme^^
singulière, et dont je n'ai pu suffisamment approfondir la signifi
cation en faisant x = o dansTéquation
— Aam5e,(5) = Ge(;:) — H,(o)Z.
On obtient ainsi immédiatement
/— — rrr^ , - ^ 7 (im-i-i)(îin-»-3»
Je laisse donc de côté ce résultat et d'autres du même genre pour — ^
vous indiquer, en lerniinant, de quelle manière je conçois la liai-
son de la théorie des fonctions elliptiques, dans ses applications à -^ l'arithmétique, avec vos recherches générales sur les fonctions nu- — mériques.
» Je considère pour cela les développements suivant les puissances de q, de sinam^, cosam:;, Aam;:, et je remarque qu'en posant
— sin amz=2^ hnq^ ,
— cosaiiiw =2^ (—1) 2 ^nq- ,
— Aam3 = i-r-2 T,i<7"'
R/, = ^ sin cfj\,
S« = ^ ( — I) * cosdx.
les sommes s'étendant à tous les diviseurs d du nombre impair n et à l'égard de la fonction T, si l'on pose
LETTRK ADRKSSKI-: A M. I.IOUVILLK. ll'^
N étant impair, et qu'on désigne par d les diviseurs de N, on aura semblablemenl
On retrouve donc ainsi les fonctions numériques qui se sont si souvent présentées dans vos recherches.
» Soit encore
et désignons par d et rf'deux diviseurs conjugués, dont le produit soit /i, on aura
U„ = - > sin a:, V„ = - > (— i) * cos — - — x,
2 JÊÊà -A 2 j6aà 2
les sommes s'étendant à tous les diviseurs du nombre n qui est =: I (mod4) et, en dernier lieu,
n étant ^ — i (mod 4)- On reconnaît ainsi, au point de vue arithmétique, l'analogie des nouvelles fonctions avec les anciennes, et en même temps leur différence qui consiste en ce qu'un divi-
seur d est remplacé par • On ne voit point encore d'ailleurs
s'offrir de parties de fonctions, mais elles se présentent en faisant
Dans ce cas n est ^ — i (mod 4), et, en supposant d<^d\ on trouve
"fi d + d'
