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N représentera tous les nombres entiers ^ 3 (inod 4) et M[^2(N) la somme des diviseurs de N inférieurs à la racine carrée. L'équation

donnera par suite ce troisième théorème F{1S) — 2F(N — 9.^) -H 'xFi \ - 4») — . . .

» Le temps me manque en ce moment pour donner le système complet de toutes les relations de cette nature, et m'occuper des autres théorèmes de M. Kronecker et de ceux où le P. Joubert(*) a introduit des fonctions numériques distinctes des précédentes. J'aurais surtout à retrouver cette relation

2^<")'-Hfk-,2ô'^';::::,

qui sans doute doit résulter de combinaisons où entre la fonction

— —' M. Kronecker, en la donnant comme l'expression analy-

tique d'un de ses théorèmes, avait bien évidemment pressenti la

signification qu'elle recevrait dans la théorie des fonctions elliptiques, et, à cet égard, je ne puis trop admirer la pénétration dont il a donné la preuve.

» Vous m'avez aussi plusieurs fois parlé de la décomposition des nombres en trois carrés; dans le cas où il s'agit des nombres : 3 (mod 8), et où les carrés sont tous impairs, voici comment on Irouvcî le nombre des décompositions.

» Soit X< ce que devient X par le changement de ^r en — q; en noHiint pour un instant e = y — i , on aura

( » ) Voir C. //., t. L, i86o (I), p. 77^ et suiv.