langa

^^l du fait même de la convergence des séries résulle qu'en les si^rrétant à un terme suffisamment éloigné, les transcendantes se trouvent, avec autant d'approximation qu'on le veut, remplacées jpar des polynômes et des fractions. Tout au contraire, les développements

arc sin x

ar»

arc tang x =x — -r -^ — ~T '^" '

ne subsistent qu'en supposant la variable moindre que l'unité, et l'assimilation approximative avec des pol ynomes n'est possible que dans un intervalle fort restreint. Enfin, et ceci est le point qu'il importe surtout de remarquer, par une seule valeur donnée, soit de l'exponentielle ou des fonctions circulaires, on en peut obtenir algébriquement ou même rationnellement une infinité d'autres. C'est ainsi qu'en trigonométrie rectiligne on calcule en partant de l'arc de lo* toutes les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente qui figurent dans les Tables, propriété aussi remarquable qu'importante de ces fonctions, et qui découle des relations

sin(ar-h^) = sinxcosy -h sinj^cosa?, cos(j? -^y) = cosj?cos^ — sina? sinj^,

tang(a:-i- v)= ^^,

^^ "^ I — langa: langj^

iJtS OËLVllKS Dli: CHARLES IIUHMITË.

donl les seconds ineinbres sont composés algébriquement avec les fonctions relatives à l'argument :c et à Targument y. Ces mém^^ propriétés nous les trouverons dans les fonctions elliptiques do«^^^ elles constituent les caractères les plus essentiels, et nous les rés«.^merons en disant des nouvelles transcendantes , qu^elles sont d^^^ -* fonctions uniformes, à détermination unique^ analogues à dm fractions rationnelles, auxquelles on peut les assimiler ave autant d' approximation, et dans une aussi grande étendu qu'on le veut, des valeurs de la variable^ et de plus que le fonctions relatives à la somme de deux arguments xety s^ea priment algébriquement par les fonctions relatives ii Vargv ment x et à V argument j\ Enfin, et de même qu'à l'exponen ticUe et au sinus répondent les expressions inverses, logj;

, . rdx r dx ' r*

arc sinar, ou bien I — , / ■» nous verrons, avec une inti-

j ^ J v« — ^' ni lé de déterminations, s'offrir comme inverse des fonctions elliptiques, l'intégrale d'une nature plus élevée

dx

où la quantité placée sous le radical est du quatrième degré en x—

De la périodicité dans les fonctions circulaires et elliptiques.

Cette propriété importante manifeste d'une manière toute particulière la différence de nature des fonctions qui la possèdent avec les fonctions algébriques rationnelles dont nous les avons tout à l'heure rapprochées, et leur imprime leur caractère le plus apparent en quelque sorte de fonctions transcendantes. C'est d'ailleurs parla périodicité que les sinus et cosinus interviennent dans presque toutes les questions de l'analyse, depuis les éludes qui ont pour objet les propriétés abstraites des nombres entiers, jusqu'aux applications du calcul à la Physique et à l'Astronomie. Aussi est-il bien digne d'intérêt d'étudier à ce point de vue, dans la longue chaîne des nouvelles transcendantes, celle qui s'offre à son commencement et se joint immédiatement aux fonctions circulaires, les seules connues pendant si longtemps. C'est au début de leurs travaux qu'Abel

et Jacobi firent simultanément la découverte capitale que les ^onctions elliptiques possèdent deux périodes, une première qu'on peut toujours supposer réelle, et une autre qui est nécessaire- :iient imaginaire. Jacobi démontra, en outre, qu'une fonction uniforme d'une variable ne pouvait posséder plus de deux périodes, et M. Liouville après lui, embrassant dans toute sa généralité la théorie des fonctions doublement périodiques^ fit voir qu'elles se réduisaient aux seules fonctions elliptiques, et mit hors de doute la prévision de Jacobi, que ces fonctions résumaient en elles tout <;e que pouvait présenter l'analyse à l'égard de la périodicité envisagée dans le sens le plus étendu. Nous allons dans ce qui suit nous occuper du mode d'après lequel se manifeste analytiquement ce fait si remarquable de la double périodicité, en commençant par étudier sous ce double point de vue la périodicité sinlple dans les fonctions circulaires. Mais, en premier lieu et en raison de son caractère élémentaire et purement arithmétique, nous donnerons la démonstration de Jacobi sur l'impossibilité d'unej fonction à plus de deux périodes.