I. — Proposition de Jacobi

En désignant par a ei b deux quantités dont le rapport soit réel et incommensurable, on sait par la théorie des fractions continues qu'il est possible d'approcher de -r par une infinité de fractions

rationnelles — de manière à vérifier la condition n

c étant moindre que l'unité. De là on tire

na — mo = ^— •

Or une fonction ayant pour périodes a et 6 ne changera pas en ajoutant à la variable une somme de multiples de ces quantités par (les nombres entiers, telle que na — mb. Comme le nombre n peut être pris aussi grand qu'on veut, sans quoi t ne serait pas

incommensurable, la nouvelle période na — mb ^ — peut être H. -II. 0

l'io OeUVIIKH DK CHARLKS H ERMITE.

rendue plui» petite que toute quantité donnée, ci par k^ reconnaissons déjà qu^il ne peut exister de fonction périodique où le rapport des deux périodet^ i»erait réel -et mensurable.

C'est à cette même conclusion d'une période infiniiBent ;|f«àeu ou du moins dont le module est infiniment petit, que nnuMâlinB — parvenir en supposant trois périodes imaginaires :

Je dis, en effet, qu'on peut déterminer une infinité de ^umiiiifi' entiers, m, /t, p, tels que le module de am -^ bn^cp «fût moiniln que toute quantité donnée.

Considérez pour cela la forme quadratique ternaire

où A est une quantité réelle arbitraire et dont le déhcnmiBmni nBSk

Le minimum de f, pour des valeurs entières des indétcmnMîeiiw durd, comme on sait, pour limite supérieure v^aA, de sorte ^^ea dé4»i|çnant par m, /i, p ces valeurs, on aura

(%m -*- ^/i-H -^pj^-^iam -^ p' n -^ v'yp ;« h- £^ < {/Ti

cif iê plM% forte raison,

(%m -4- ^/i H- '(p)*^(% m ■+- 3'/i-t- y7>)' < V^'IÂ.

S «I #f«t donc impossible d'avoir à la fois

am -k- bn -^cp =0,

C' «têi'k'éirt: ëî a, b^ c *onl trois périodes réellement distinctes, on

THÉORIE DKS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l3l

reconnaît que, X croissant, A peut devenir aussi petit qu'on veut et qu'on parvient à des périodes dont le module, ainsi que nous l'avons annoncé, est indéfiniment décroissant. Toutefois, nous «supposons que le déterminant de la forme quadratique ne soit pas Miul. Mais, dans ce cas particulier, au lieu de la forme ternaire, on <:onsidérera la forme binaire

Sous la condition a^' — ^x' = o, son déterminant sera — r^ — > «t ne pourra jamais s'évanouir. Or, en supposant que le minimum soit donné pour j: = m, ^ = n, on aura

^am-^ Pn)« ^ (a'm ^ P'n)« ^ ^ < ^^%^/'

et a fortiori

de sorte qu'on pourra raisonner comme précédemment et parvenir à une période am -h bn dont le module sera d'une petitesse arbitraire. Ce cas particulier rentre d'ailleurs dans celui dont nous nous sommes occupé en premier lieu, car la condition afj' — pa'=o

1 ^ a -H a' v^— i « » ^ 1 exprime que le rapport = t est réel.