C. — Addition des arfirunients

Considérons, pour fixer les idées, un nombre impair d'argi^ ments a«, aa, . . ., ^^njfSj '^^^ par la relation

a, -+-X, -h...-ha,„-Hi =o,

Téquation fondamentale

e'fa) I , e(T — a) ' e(a) «2 ^iè(x-{-a)

donnera

^ l ^ e(g,~a)e(at-q)...e(a,n^t— g)

2 ^e(a,-ha)e(a,-ha)...e(a,„^i-+-a)'

Cela posé, je dis que la quantité sous le signe logarithmique s'exprime rationnellement par

\ sinamsi, sinamx}, ..., sio amatn-ht)

/ Da, sinamai, D», sinamx], ..., Da^^., sin ama4„^i.

Rappelons, à cet effet, qu'en désignant par /(r) etyi(:r) deux polynômes entiers en x des degrés n et n — i et faisant

ç(ar) = sin araa-/( sin»amj') -hD^sin aina!'/i(sin* am^r), nous avons obtenu (p. 184) la relation suivante :

AH( j- — a,) H(x — a,)...H(j- — i^n-hi)

OÙ les coefficients des polynômes / et /, doivent être déterminés par les équations linéaires

et sont des fondions rationnelles des quantités (A). Cela posé, en changeant .r en — .r, on en déduit

THKORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 2o5

«l il en résulte

o(— X) ~ \i(x-hOii)\\iX-i-%t).,.HlX-\- iXtn^\)

Or, en faisant

X =z a -r- iK\

k sin ama

- Da sin ama

DxSinainx = -. — r-r >

A-sin'ama

la quanlité

H{x — 0Li)H(x — 7ii),., H(ar~gi;,-n) H ( X H- »! ; H ( X -h «1 ) . . . H r a- -I- Xi/i-Hi )

deviendra précisément

e(rt — g,)e(rt — a,)... erg — «!/,->- o

Elle s'exprime par conséquent comme il a été annoncé, ajanl pour valeur la quantité

k sin

[ ^/ » I /Dtf Mnam«\ / i \

ama*^ \ A:* sîn*ania ' V k sin^ama / "^ * \A:' sin* ama/

» ^/ I y ^ /Dg sin ama / J \

sin ama*' \ A-* sin* ama/ ^ A: sin* ama /*^* ' A:* sin* ama/

qu'on ramène, en multipliant haut et bas par sin'""*"* am a, à la

forme

sin amaF(sin*ama ; — D^ sin ama Fit sin* ama; «in ama F («in* ama )h- L>asinama F|(sin*ania)

F{x) et F,(x) étant comme fix)eif^ix) des polynômes de degrés n et /# — i en x.

On peut donc écrire, en remplaçant l'argument «a/i+i par

l'équation suivante

U(%i, a) -*- IKij, a >-*-.. .— ina,^, a) = ÏKai^ at -f-.. .-*-»?„, a;

1 sin ama Ff sin*am/^f > — D^ sin ama F| (sin*ama)

2 sin amaF(>in*ama> -»- Da ftin ama F|^sin* ama> *

c'est le théorème de l'addition des arguments sous la forme trouvée par Abel.

D. — De différentes fonctions analogues à la fonction de troisième espèce.

D'importantes questions de mécanique conduisent souvent à réduire aux fonctions % des intégrales semblables à la fonction de troisième espèce et qui s'y ramènent par quelque substitution simple; aussi Jacobi, dans son mémorable travail sur la rotation des corps, a-t-il jugé nécessaire de donner le Tableau suivant, qui ofiVe la réunion complète de ces diverses intégrales ainsi que leurs expressions sous la forme la plus simple par les fonctions %,

/"' Ar'sin amacosania Aaniasin*ain are/r B'(a) i, 8(ar — a)

J^ I ~ X:* sin*ama sin'amar B(a) 2 °8(a:-t-a)

Z"*^ A:* sin ama cos ama cos* amardlr BWa) 1, %(x—a)