III. — De la fonction ï[{x, a

On considère comme Tune des plus belles découvertes de Jacobi cette expression de n(x, a) où figurent deux quantités, l'argument X et le paramètre «, par la relation

dans laquelle n'entre que la seule fonction S avec sa dérivée. Il pourrait même paraître inutile, à cause de la simplicité de cette expression, d'introduire avec une désignation spéciale et comme un élément analytique propre la fonction de troisième espèce. Cette désignation cependant est consacrée par les travaux de Legendre qui ont précédé la découverte de Jacobi, et nous l'emploierons dans les énoncés des propositions sui\antes.

0BVVRB8 DE CHARLES HKRMITR.

A. — Échange de l amplitude et du paramètre. L'équation fondamentale donne immédiatement

ou bien encore #

n(ar, a) — n(a, .r) = aZ{x) — xZ{a)

en introduisant la fonction de seconde espèce. Cette propriété peu^

être établie directement et étendue aux intégrales d'ordre supé

rieur par la méthode suivante qu'a encore donnée Jacobi. Soit ^{x) un polynôme de degré quelconque en x et

la différence F(^, a) — F(a, x), ou bien U somme des intégrales

nda

peut être remplacée par l'intégrale double

r" r da

dx da \<d'{x)-^ f'(n)](x — a) -^ i9{a)'—2^(x)

~lv/^Tâ) i(x — ay

Or on trouve aisément que la quantité placée entre parenthèses est une fonction entière de x et de a, de sorte que l'intégrale double se ramène à une somme de produits tels que

Jr ' a"' da r"" x'' dx

Le cas des intégrales elliptiques résulterait évidemment de là,

en posant

et prenant, pour variables x et a, les quantités ,^^. ^ et

sin^amn.

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2o3

B. — Des fonctions complètes.

Supposons successivement dans inéquation précédente

ntar, a) — U.{a^x) = aZ(.r) — arZ(a), X =K et a: = K H- t K' ;

^n observant qu'on aura

n(a, KH-tK') = o,

on en conclut

n(K,a)=aZ(K)-KZ(a) = aJ — KZ(a) et

U(K -h tK') — n(K) = mJ'— tK'Z(a).

Telles sont les valeurs des fonctions complètes ou bien des intégrales définies

X'^sin ama cos ama A ama sin*ain.r dx

I — X:* sin*ama sin'amâ:

n(K-4-tK')-Il(K)= f

"^'^ X:* sin ama COS amaAama sin'am j?<£r I — X'* sin*ama sin'amar

Si pour un instant on les désigne respectivement par II et /II', on aura les relations

U(x -¥- iK^ a) = ll(a?, a)-+-2n,

Uix-^iiK\a) = 11(07, a)-hatn' et

Kn— nK'= — .

Mais nous observerons, à Tégard de la fonction de troisième espèce, que l'intégration introduit, en modifiant le chemin décrit par la variable, un multiple entier positif ou négatif de tz^ — i, de sorte que ces relations n'ont lieu que pour certains modes d'intégration, tandis que les relations analogues relativement à la fonction de seconde espèce n'exigeaient aucune restriction de cette nature.

ao4 OBUVBES DE CHARLES HERMITE.