i = — ^-m — --^ — log-iTT

J sin^aiiia — siii*amx nia) 2 "H(a — x)

Il nous suffira d'observer, pour qu'on puisse immédiatement les démontrer, que les équations 2, 3, 4 se déduisent de la première tm y changeant successivement J7 et a en

^ -i- K, a -i- K, K-mK', a-4-K-+-tK',

THÉORIE DKS PONCTIONS BLLIPTIQUR8. 207

Ces quatre équations ainsi obtenues, on en tire les quatre sui- "vantes par le changement de j: en J7 -h t K' ( * ).

Des fonctions de M. Weierstrass.

I] a été déjà remarqué que sin am x, cos amx, A amx, pouvaient, pour des valeurs de x moindres que l'unité, être développés suivant les puissances de cette variable en séries dont les coefficients sont des fonctions entières et à coefficients rationnels de k^. Il en est évidemment de même de sin'-'ama:, de la fonction de seconde espèce

Z(x) = / A:*sin*aina? û^, de son intégrale / 7j{x)dx et même aussi de l'expression

mais, tandis qu'à l'égard de sin'^amar, Tj{x) et / Z(x) dx les

développements ne subsistent que pour des valeurs de la variable dont le module est inférieur à l'unité, l'exponentielle

— / Z <x| do-

conduit à un développement convergent dans toute l'étendue des valeurs réelles ou imaginaires de x. Effectivement l'équation

(*) Si Ton représente par / ¥ {x) dx l'une quelconque des huit formes de la

fonction de troisième espèce. F{x) aura pour périodes iK et 3e K', et les exprèssions précédentes s'obtiendront immédiatement à Tai'le d'une expression générale des fonctions doublement périodiques, qui ser^ établie à la fin de cette Note, savoir :

les quantités C désignant les racines de l'équation - — - =0, etR les résidus correspondants de ¥ (x).

donne

Voici donc une propriété bien digne d'attention de la foncticrr:^

0(x) de se changer par l'introduction du facteur e * g—. e=^

une nouvelle fonction où Targuinent est sorti du signe cosinus ^^ où figure directement le module k'^ à la place des périodes et dT^

la transcendante q^= e '*'. Les mêmes choses auront encore lieii évidemment à Tégard de ces trois autres fonctions :

Al(27)t = sin ainâ? « «^0 =e * . —p.t

Al(a7),= cosama7« *'o =e * ^ V ~k*

Il en résulte qu'à côté des développements périodiques

iKx I li/qsmx — 2 v 7* sinSj? -r- 2 v'7*' sin Sa? —

sin am = -;= — ^-^ ^-^ — ; ^^^-r 7

TZ Jfç \ —'iq co%'ix -^ xq* co%^x — '2^» cos6:r -h

— I L (X) tix - i:^ «1 ( a? ) rr.

iKx , //:' 2 V 7 cosj: -+- 9-v 7^ cos3 J7-4-2 i 7'* cos5j?-i-. . . rosam = {/ î-^^ î— i — î-^- ,

A am = y^k' ^ ^r \ ^-r -z ,

TT I — -2^ COS jsJ? -I- 2^* C0S4 J7 — -Z^^COSOJr H-, . .

on voit s'offrir un autre mode de représentation où les fonctions doublement périodiques sont exprimées par des quotients de séries rationnelles en x et A"-, et convergentes quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires de ces deux quantités. Abel avait entrevu et rapidement indiqué la possibilité de ce nouveau mode d'expression des fonctions elliptiques, mais c'est à M. Weierstrass que revient l'honneur d'avoir mis dans la Science, au Heu d'un simple aperçu, une théorie profonde qui conduit directement à ces nouvelles fonctions, non seulement dans le cas des transcendantes elliptiques, mais pour les transcendantes abéliennes à un nombre quelconque de variables. Ne pouvant exposer ici les prin-

-î pes dont cet illustre géomètre a tire ces grandes et belles décou- ^ ^^ rtes, nous nous bornerons, et sans sortir des fonctions elli p- '^<ques, aux indications suivantes.

I. — Définition des quatre fonctions AI( j*). — Équations différentielles.

Afin de rattacher immédiatement ces fonctions aux quatre fonc- Lons %{x)^ nous poserons :

-C Z'X)dJr

AI(j-) = i? *'o

i sin am j- = t A) ' cosainar =

T Aama- =

Al(:r> X\(x)i \\(x) '

Al(x)'

^t, par suite,

AI(., =.-'-f'?^.

Des relations (A) résultent en premier lieu celleî>-ci

Ainx>, = Al«(a-;- AI«(x>,.

AIV jTh = AIH Jr> — X* AIUjt),.

Nous déduirons ensuite des égalités

K\ Ti

= Mn zmx.

deux équations difTéreutielles. f.'U prenant d'ali^>rd \**s wfconde^ H. -II. <'«

•MO (JEUVRES DE CHARLES HBAMITE.

dérivées de logarithmes des deux membres, ce qui donnera

Z ., = — A:«sin»afnar= — A« , ,,

dx'^ Al*(x)

et

d*\oek\(x)t rf»logAl(a?) ^<]og sin am j* ,, . . i

» £1 ^-^ — = Ë^ = Ar^sin^ainx - ^— ,-

dx* dx^ dx^ sin'amj'

d'où, à cause de l'équation précédente,

d^\o^K\ix)x I ___ Al«(ar)

dx^ ~ sin'ama^"" Al*(ar)i

Voici, en développant, les équations différentielles qui en résultent :

On aurait d'une manière analogue, ou comme conséquence des relations algébriques.

Ces relations importantes que M. Weierstrass tire immédiatement des équations de définition :

(ls\ï\ ani.r

= cos am j* A aiiiJ*,

dx </cos nui X

~dx ^ A ain.r

dx

- — si II anij* A aiiia", = — A'^sin am.r cosain j*.

et par une méthode qui s'applique aux transcendantes abéliennes les plus générales, peuvent alors, par une nouvelle méthode, conduire aux fonctions B, ou servir à démontrer directement qu'elles définissent des fonctions développables suivant les puissances de la variable en séries indéfiniment convergentes, et dont les

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. tH I

c^ocfficîents sont des fonctions entières de k^ à coefficients rat^ionnels. Toutefois, pour effectuer les développements, on suit ^jne voie différente et plus simple dont voici le principe.

II. — Équations aux différentielles partielles, — Formules de développement.

Une analyse un peu trop longue pour que nous puissions la rapporter ici a conduit M. Weierstrass à ces équations linéaires aux différences partielles, savoir :

. 5--— -+-2A»a? -, haXA* — -^^ -t- k^x^ K\(x) = o,

I dx^ dx dk

\d'^K\{x)x ,, dK\{x\ ..,, ^AI(x), ,.,, ., „ . , ,

1 , ^ -+- 2 k^x — ^ ■- o^kk * — . -4- ik!^ -h X*ar') A I {x)x = o,

I ^jr« dx dk '

\ d^S.\{x\ ,, fl^Al(ar), ,,,.£/AUx), ,,^ ,.^ ^,, -±^^ik^x — ^T"^-^^^^ — ^T-^-+-^/r«-f-X'«ar«) Al(x), rr o.

Ces relations importantes sont éminemment propre» aux iléveloppements en séries, et Ton en tire les formule» »iiivant/f?*. Soit, #»n désignant le produit i . 2 . 3 . . . /i par n î,

k\(x) = 1 - A,— -f-A,-7-...^/^-i)'«-<A;„ -— y,,,P;^ 4 ' o . i'Am f .

3! • "'5'. ' ""lAm . •;!

x^ x* j^ff^

Al(jr)a= I— D, -— ^ D, ^ —...-- r~ i^^* |>,^ - ^,,.,

(') Le terme en x- manque dan* tf *U:i>*:i*fp^m*t*i, t^Httmr */## !#' S4nî a

prior pari l'expression c «'o i,h \n »/#Mr «i# *-â^/ti$tti fomHfff^**^ p4f ttu

terme en x*.

lié («SVVRKS DK CHARLES IIRRMITK.

on aura

A^ =3a(A«4-/:»)4-68AS

Aô = 5i2(A«4- A:>o) -h 3oo8(A* h- A») -h 54ooA«,

As = 8 i97.( /-*-+- A»^) -4- 95?.3a ( A* -+- A»») -h 895 520 (A« -h X-»o) -+- 6o3 376 tr

A, =32768(/«4-A»«)4-4997i-i(A*H-A**) + 2853888(A:«-+-il-««)

4-5668o96(A-«-+.A»o), A,o=i3io79.(/«4-A:»»)-+-2539 52o(/-*-hA:>«)4- i90976oo(A«-+- X:i*) 4- 38 i53728(A» -h A>«) -4- 42090784A»»,

B5 = I -+. Ai04-25(A*-+- A») — 494(A*H- A«),

Bç = 1 -+- A««-h36(A*-+- A»o ) — 5781 (A'*-i- A») — 12 i84A-«,

B7 =i-i-Ai*-+.49(A«-+-A»«)— 55i73(A*-f-A»o)— i796o5(A«-i-A:«),

Bg = I -+-A»«-+-64(A«4- A»*) — 5o2892( A^-h A>«) — 2279488(A«-h A>«)

— 354793oA«, B9 = i-+-A'»-+-8i(A«-H A»«) — 45375oo(A*-4-A»*) — 27i98 588(A«-+- A>«)

- 59331 498 (^••-^^'•), B,o= I ■+-A"-Moo(A» + A»«) — 4o8567i5(A*-hA>«)

-3i38oo8o(A6-hA'^) — 9()90i527o(A«-+- A")— 1 278530 856 A»»,

Cj = i -H 2 A*,

C, =i4-6A«-f-8AS

Ci =!-+- iJtA«-h6oA^H- 3-2 AS