C- =i-+-ioA«-+-348A^-4-448A«-+- I28AS

Cg =i-+-3oAï-i-2372Ai-+- 46ooA«-4-288oA»-+-5i2A»o,

Cg = I -+- •)6A«-H 169320 A* -h 6280G4 A* -h 7J7264 A«-f- 370944A»o

TIIÉOKIK DES FONCTIONS KLL I l>TIQ U ES . '>.l3

r3« = 5riA:«+ 2 88o/*+'46oo A« -h 2872 A»-+- 3oA»o 4- A»»,

ID, = 2o48A-«-M6896A'*-t- 45024 A:« -h 5i 8i6A»-+- 19808 A»o -h 4JtA»« -h A»*;

IDg = 8 192A» -h 93 184 A* + 370944 A*6-i- 757264 A'«-+. 628064 A«o

-f- i6932oA>» 4- 56A»* -+- A»».

-h 12998 928 A:»o -H 7594î)92A-««4- i 5i5368A»* 4- 72A»«-i- A»», X)io= i3io72A-*-h2 5o6752A'* -f- 18400432 A* 4- 100242914 A*

4-219361 824 A«o 4- 21 io644ooAi»4-89348o8oA«* H- i362348oA:»«4-9oA'»8 4-A»o,

Mais les équations aux différences partielles ne servent pas seu- \ binent à faciliter le calcul dont nous venons de rapporter les résull.Ats d'après M. Weierstrass, elles donnent encore, par exemple, mmne démonstration facile des équations suivantes, qui se rapportent à la transfo rmation du premier ordre, savoir :

X\(kx/^\ =\\(x,k).

Al U'^fj.) =^Al(27,A)„

1 \\{ix, A-') = e* A^j-, A)„ ) Al(i\r, A')i=t'e^Al(j', A),,

I A\{ix, A')î= c* Al(a?, A),

\ A\(ix,k')i=e^k\(x,k)3,

Nous remarquerons enfin qu'en passant ainsi des fonctions B(i) à W{x) qui ont perdu tout caractère périodique, les (|uo-

ai4 OEUVRES DE CHARLES HERUITE.

. AKa:)| Al(jr)î Al(a:), . , 'j i j i i

tienls -r-T- — 9 . , 1 , se trouvent posséder la double

JK.l\tVj I\.l\3/) AlyiC)

riodicîté en vertu des relations suivantes, conséquence immédi des équations (B), en se rappelant qu'on a

savoir

Ç = i et KJ'-K'J = ^,

' Al(j:-+-2K) =-+-Al(a:) «-«Jm+k», 1 Al(x-+-2K),= — Al(a:)ie-«J<-»+>i', j Al(x-h2K), =— Al(a:),«-»J^-»-^«^S ( Al(j--i-2K)3=-f-A!(x)3 6-'^'-^-^*',

X\(x-^ 2tK') =— Al(:r) c-t'i'i^+iK-.^ AU:r-h2tK'), = — Al(x),e-*'J«^^'*^', A l(^ H- 2f K'), =-^ Al(x)5 e-î'J'^-^-iK- , A \{x -h -iiK'), = -+- Al(j-), c-î'i « »-»-iK ».

Déyeloppements des fonctions elliptiqaes en séries simples de sinus et de cosinas.

Voici un nouveau mode d'expression analytique qui se distingue ossenliollemonl de celui que nous venons d'étudier, en ce que la \ariableesl assujettie à rester entre certaines limites déterminées, do sorte que, ces limites changeant^ la forme du développement doit clianger égî^lement. Toutefois, comme il suffit, pour embrasser toutes les valeurs réelles ou imaginaires de l'argument, d'un nomhri^ limité de développements et que, dans chaque intervalle d'ailleurs, le développement convenable subsiste quelles que soient les jWri^Hlos ou le miulule, on jHnit présumer que l'élude de ce mode d'expivssiou ou>rira également la voie pour parvenir aux propriétés foud,imontAles des nou> elles transcendantes. C'est, en etVet, ce qui a lieu, et Ton Norra même ainsi s'offrir naturellement la it^luchou aux fonctions elliptiques de toute fonction doublement pori\Hlique uniforme, c 'est ^-^lire la proposition de M. Lionville énoncée jvigx^ I 3i) et qu'on démontrera ci-après. Mais, à un awlre |H^int de \ue et jv^r le s<:*ul fait des identités entre les séries r4 les qnotie«t> de serie>, on s**^ lrow\e amené aux pTX>priétés des lll«mihre> le> plu> oa^ luv> et le> jv|«> im|HMttnle>, propriétés dont

TBKOKIK WKi r09CTI0?CS ELL1PTIQCC5. ^ -

l'intérêt s*aagiiiente m^^nie par ie lien «i împiv^a qui les rattaclK sux transcendante!» de TAnj^Tâe. Noa$ noos bornons ici à cette indication, ne pouTant entrer dans cette partie fort étendne de la théorie des fonctions elliptiques et qai est liée étroiteoient anx l)eUes recherches qae U S*:i^nce doit à M. Lionville sor les fonctions numériques.