CII, -+-r,U
346 UEtIVRES DE CHARLES IIERVITE.
Les quantités A, B, C sont des constantes, savoir :
Dans ces formules /n est pair et w ^ 3 (mocI/(), les coefficie^t^^ <^/i7 c,n désignant les fonctions numcTiques définies parées égalî^^'
an^2à^-^) ' , c„=2l(-i) « -2l(-l) « ,
où d représente tous les diviseurs impairs de n et de m înférîeu:^^ à leurs conjugués et rf' les diviseurs impairs de m plus grands qi^^ leurs conjugués. On a d'ailleurs, en faisant x = o dans les équa^^ tions 15, 16, 20, ces relations dont nous ferons usage plus tard :
r.» = AOi— BO, Qî = Ar, -fCO, 03 = Br^ -+-C0,.
Voici maintenant de quelle manière les deux systèmes de fonr — lions conduisent à la considération des formes quadratiques à deux indéterminées de déterminant négatif.
Vyanl, à cet ellel, distingué quatre espèces de développements vn série, suivant (ju'ils se composent de termes en
sin(';>n-4- i)T, cos(>./i -m ) j^, sin^./u*, cosinx,
nous multiplierons entre elles toutes les fonctions du premier et du second système qui appartiennent à la même espèce, de manière que les produits obtenus ne comprennent que des termes en cos2nx, Kn intégrant ces produits entre les limites zéro et - un donnera naissance à autant d'expressions fonctions de la seule
quantité rj, où le rocflicicnt d'un terme quelconque g^ ou q^ dé-
SUR LES THEOREMES DE M. KRONECKKR, ETC. 2^7
ra (l'une certaine manière du nombre des classes quadratiques ^terminant — A. Tel est donc le procédé analytique très simple ;n établissant un lien entre les formes quadratiques de détcrminégatif et les transcendantes ellipliqucs, conduit à l'ensemble fsultats que nous allons passer en revue. Ces résultats d'ail-
se classent naturellement d'après les intégrales définies de .ions 0, d'où ils sont tirés. Ainsi, en premier lieu, s'oiVrent jmbinaisons obtenues en multipliant respectivement Icséqua-
15, 18, 1,2, 11 du premier système avec les équations 5, 1, o du second, et où Tintégralion s'eHeclue d'elle-même, savoir:
0» ret/x=^oî,
(2, 7) rfl] re,clx=^rfi\,
dx= - 00!.
;s-ci seront éludiées «nsuile, savoir
(3, -) et
(li, i) (10, i)
. sont, comme on voit, essentiellement distinctes, et toutes les
2iH OEUVRES DE CHARLES HERIIITE*
autres de forme analytique semblable qu'on pourrait obtenir produiraient, en changeant suivant les cas le signe de y, les mêm fonctions.
Lcgendre, comme on sait, a le premier découvert par inductioi ^ . que le nombre des décompositions d'un entier en trois carrés dé pendait d'une manière simple du nombre des classes quadratique: ayant pour déterminant ce même entier changé de signe, et Gaus: a démontré ensuite ce résultat important dans ses Recherches ariihmé(i(/ues. M. Rronecker a remarqué qu'on y est également amené par la théorie des fonctions elliptiques; mais la méthode du savant géomètre suppose, à son point de départ, et d'une manière essentielle, autant que je puis en juger, la notion arithmétique de classe, <pril n'est pas nécessaire d'employer dans la voie que j'ai suivie. Si l'on ne distingue pas les représentations propres et impropres, il suffira, en ellet, de la définition seule du système des formes nnluites pour un déterminant donné; de sorte que ce théort»me, dans l'enchaînement naturel des pro|>ositions de l'Arithmélî<|ue, pourra être placé dès le commencement et à côté des résultats qu'a obtenus Jacobi sur la décomposition en quatre carrés. Pour justifier cette observation, je présenterai en détail ce qui concerne la formation du cube de la fonction
afin aussi do pou\oir me borner à l'ég^ard des autres quantités r,', ftiT,*, ...» conlonuo'i dans les formules ^A^, à donner seulement les rt'^sultats.
lAUisidéivns, à cet ofVel, les séries 15 et 5 du premier et du second système, dont il fiuit elVecluer le pnnluit, sa\oir :
^^ t^Hi ii/sînjx |i/*5inix (o'sinftjr
^l 1.11 = *^^*tx ' ' . . .-
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