SUR LES THÉORÈMES DE M. KBONEOKEB, ETC

'y en faisant comme précédemment,

C-^ produit devant être ensuite intégré entre les limites o el -> ^*s ferons usage de ces formules, qu'il est aisé d'obtenir,

/ coixs\n2nx dx = - f

^ trouvera de cette manière, après avoir supprimé le facteur ->

Les deux premières séries qui se présentent dans cette exprès- ^on se développent sans difficulté suivant les puissances de q. En '^signant par m un nombre impair quelconque, par o(/iï) le nombre le ses diviseurs, on trouvera

'exposant a- prenant la série des valeurs i, 2, 3, etc. Pour la troisième, en remplaçant d'abord par le déve-

oppement Tl^"" i)''^"^*^^''", clic devient «1 = 0

-e qui met en évidence dans l'exposant q le déterminant d'une orme quadrati(}uc (A, B, C), en posant

25o OEUVRES DE CHARLES UERMITE.

I^aissant de coté pour un instant le facteur ( — |)tf(«+0^ dont nous nous occuperons plus tard, observons que b doit recevoir les valeurs

de sorte que cette forme sera réduite, si l'on s'arrête ù la limite

ih ( - j> c'est-à-dire, pour plus de précision, ~ (: ï ) lorsque n

sera pair, et ± l— — ^ J lorsque n sera impair. Ce premier groupe

de valeurs, si l'on fait

donnera, et une seule fois, toutes les formes réduites de déterminant — A, en exceptant les formes anil)i<;uës (A, B, C) ou aB = A et G = A, et parmi les formes ( \, o. G), le seul cas de A =: C, qui se |)résente quand A est un carré. Dans ces divers cas, en effet, on serait conduit pour le nombre a à une valeur négative.

Gonsidérons ensuite la seconde série des valeurs de />, savoir :

zb ^ = - , — - \, . . . , /* — I ,

lorsque n est pair, cl

I()rs(|fi(» n est impair. Soit £ une (nianlilc éi;alc à l'unité en valeur absolue et de même sif;nc que b\ en fai^anl la substitution

dans la forme

//.r^ -h 1 bxy \'{n -r- i -h a )y*,

ou h'ouvcia

n\^ — }.i\ n — bz) \ Y — ( i n — xbi ->r \ -^ a) Y*,

et cette ti'ausformée, (jue nous (lc>ij;nei*()ns |)ar (A, — î B, G), cfi |)osant

( I ) A = /<, \\ — n — bi, r, = .> /i — 2 /> £ -+- I -H a,

remplira les eomliiious ■> B <C V, i B <; G, le premier terme étant laulol plus ^raud, l.uilol plus pelil que le dernier G. On voit donc maintenant >e produire une ^érie de forme> en nombre double des

SLR LES THCORËUËS DE M. KRONECKER, ETC. 25l

formes réduites, si l'on excepte celles-ci : (A, o, C), qui ont été j.^récédemment obtenues pour b = o. En elFet, on tire des cquat: ions (i) :

r a) /i = A, ù = ti\—U), a = C — viB~r,

^t, en permutant V et C,

C3) /i = C, ^ = £(C--H), a = A-uH-i.

Ainsi chaque forme réduite non ambiguë donne effectivement <leux systèmes différents (/i, b, a), où n ci a sont positifs et b compris entre les limites assignées. Mais, à l'égard des deux formes ambiguës (A, eB, A), les équations (2) et (3) coïncident, et pour celles-ci : (aB, eB, C) les équations (3) conduisant à une valeur négative de a, on n'a de même et pour chacune d'elles qu'un seul et unique système de nombres, /i, 6, a. Si l'on avait d'ailleurs à la fois

on ne pourrait employer ni les équations (2), ni les équations (3), de sorte que cette forme est absolument exclue, comme plus haut le cas de A = C dans le groupe des formes ambiguës (A, o, C). En résumé, soient, pour un déterminant donné A : H le nombre des formes réduites non ambiguës, h le nombre des formes ambiguës de l'espèce (A, o, C), h' le même nombre à l'égard des deux suivantes : (2B, B, C), (A, B, A), l'expression

sera le nombre des systèmes (/i, b, a) qui, sous les conditions requises, satisfont à l'équation

/i* -H n -\- an ~ b^ = A.

Mais, si A est un carré ou le triple d'un carré, ce nombre, d'après les exceptions relatives aux formes dérivées de (i , o, i) et (2, 1, 2), devra être diminué d'une ou de deux unités. On peut d'ailleurs l'écrire de cette autre manière :

en introduisant le nombre loUil des classes de déterminant — A qui est