REMARQUES

LE DÉVELOPPEMEINT DE

cosam X.

Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LVH, i863 (II ), p.6i3 ei Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. IX, 1864,2's., p. 28»

En développant suivant les puissances de l'argument les trois fonctions sin amx, cos arox, A ani J7, on obtient les séries suivantes :

sin amar = X — ( I -H X» ) -+- ( 1 -f- 1 4 ^'- -^ A* ) -

cos amx = I — h ( I -h 4 ^^^ -

A am T = I — A* — -^ ( X* -+- 4 A* )

OU le coelncient d un terme quelcomiue, ; > >

est une Amclion enlirre et à roellicienls entiers du module A*^. Mais jusqu'ici il n*a pas été possible d'en obtenir l'expression générale, et tout ce que l'on sait à leur égard résulte simplement des relations

sin am ( X j-, - J = X sin am < j-, X*^,

cos ani ( Xj-, - ) = a ani i j-, X- ).

On reconnaît ainsi que les coeflicienls de sinanij^ sont des polynômes réciproques et que le dé>eli>ppemenl de cos ani:r donne immédiatement celui de A amx. C'est de cette fonction, cosamx, que je \ais m'occuper en ce moment, me proposant d'établir

REMARQURS SUR LE DÉVELOPPEMENT DE COS amâ7. 205

;ard des coefficients, dont voici les premiers d'après Guder-

narqae suivante :

sons k= cosH et introduisons les arcs multiples, au lieu des

ances du cosinus; en les multipliant chacun par Ar, on trou-

successivement

X--i-4A-3= 4COSÔ-I-CO5 30, /: -r- 44X'-^ i6A* = 44 cosO -f- 16 cosSO -h cos5e, 408 A:' -h 9i2A*-t- 64 A"^ = 912 cos6 -h 408 cos3 6 h- 64 cos56 -h COS76,

I aperçoit dans ces égalités que les puissances de k et les us des multiples de 8 ont précisément les mêmes coefficients.

n général, si l'on représente le coefficient de r — r

le développement de cosani:!* par

Ao-4- A, A«-H AjA-^-h. . .-h A;,A^»« = V A,A:2',

ra cette relation :

V A; cos*^-> e = V A| cos( 2 n -h I — 4 0 0»

i peut facilement démontrer, comme on verra. Mais je veux rd faire voir, par un exemple, comment elle sert à calculer tement les nombres entiers \o, A|, A^, etc. it /? = 4 • ^^^ faisant, pour simplifier, A|=4'0/î et posant 1, on trouvera, en remplaçant par les arcs multiples les puiss du cosinus

)s6 H- 4«i cos^ftj^ i6as cos^ô -+- 64^3 cos"6 -t- •l'yiya^ cos'ô = cosB -h rti(cos Jf) -H 3 cosO ) -h «^(cosSÔ -h 5 cos30 -+- iocos6) -h 03(00570 — 7 cosôô -t- 21 cos30 H- 35 cosO) -+-a4( cosyO -+- y 0057^ -t- 36 cos50 -+- 84 cos30 -h 126 cosô).

On en conclut, entre les quatre inconnues, les cinq équations <\^^ voici :

i6aj= I -h 3ai-i- loaj-h 35aj-i- 126^4, 64^3 = «I-+- 5aj-h 21 03 + 8404, 256^4= a^-h 904.

Leur somme conduisant à une identité, on peut omettre V ^l:^ d'elles, et, si l'on exclut la troisième, un calcul facile donne

ai = 922, «2 = 1923, aj=247, «* = i,

ce qui conduit en effet au coefficient rapporté plus haut, d'apj^ Gudermann. Laissant de côté Fétude de ces équations considéi — en général, et me bornant à remarquer les valeurs

A„, = 45"-i-(2/i-hi)4«-i,

tne

j'arrive à la démonstration de l'égalité

^ A, cos»^-n 0 = V A/cos(2n -h i— 41)6,

et à cette occasion, comme j'aurai à faire usage de la transform tion du second ordre, je vais donner diverses formules qui ^ rapportent et qui peuvent être utiles dans bien d'autres ci ^ constances.

La principale, celle dont toutes les autres peuvent être tirées, e^

'jr

, *^ /A' I ( i -h k) sm am T

\(i-hk)x, . = j—r-z

i-hArJ I -1- Arsin-amo:

Il suffit pour cela d'opérer tour à tour sur les fonctions au module primitif /r et au modale transformé, en employant les relations d^ la transformation du premier ordre; on le démontre en partant de ce théorème arithmétique que tous les systèmes linéaires

BEMABQUES SUR LE DÉVELOPPEMENT DE COS am^r. 167

squels cul — bc est un nombre premier /?, sont donnés par 1 d'entre eux

composant à droite et à gauche avec des systèmes

îrminant i . Or l'ensemble des relations relatives à la transion du premier ordre consiste dans ces formules, savoir :

( Arar, j ) = A: sin amar,

sin am ( ix^ k* ) = cosam ( M7, A:' ) = A am ( wr, A:' ) =

Aam

: cos amx.

i sin aiiiâ?

cos ^mx

cos am:r

Aamx cos a m 27

ik' sin amj:

cosam^r ama"

cos amj7

1 sm am ( ik x. t7 ) = — I \ ' k / c

' cos am ( ik'x, tî ) =

I Aam /eXr'x, pj =

, . /., ik'\ ik sin ama?

sin am ( ikx. -r- 1 = »

k \ A^ / Aamar

/ cos am 1 ikx. -,- ) = >

j \ k / Aamx

f . /., ik' \ cosamx

f A am ( ikx, -p ) = — f

' \ k / Aamx

/ ./ ^k\ k sin a

sin am { k x. -j-r ) ^ — i^

\ k / Aam

/ . , ik \ co :osam(^A:^, -pj = -

k sin am r

cos amx

amr

f A am ( k'x, 77 ) =

' \ A- / Aam27

Vf,

On en tire, par un calcul facile pour la transformatioD. dv second ordre, les formes suivantes :

, ix/Tc I (i -h A:) sinama: