THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES

Telles seront donc pour n très grand les expressions approchées cfl e la somme des nombres de représentations par une forme (a, 6, c) die déterminant D positif et négatif des entiers positifs, impairs et ^Dremiers à D qui sont compris de l'unité à n. Ces expressions ne ^i^ontiennent pas «, 6, c; le déterminant seul y figure, de sorte qu'il ^suffira de les multiplier respectivement par le nombre A, des classes ^e l'ordre proprement primitif, pour en conclure la valeur approchée de la fonction précédemment désignée par F(/i). Il vient ainsi

'^^ A = 2 V ( — ) *^ ( ^ ) ^ans le cas de D négatif, et

— ^ — ^^ — - h = > (~J^{'') *^^"^ '® ^^^ ^® ^ positif.

Or on a, ainsi que nous l'avons remarqué en commençant,

le nombre m d'ailleurs a été pris égal à 2D1, de sorte qu'en divisant par n les deux égalités pour y supposer n infiniment grand, on trouvera les expressions remarquables découvertes pour la pr^ mière fois par Dirichlet, savoir :

log(TH-U/D)-^»\ « / *'

la première se rapportant aux déterminants négatifs et la seconde aux déterminants positifs (*).

(*) Je dois m'empresser de déclarer qu'ayant eu occasion de m'entrelcnir avec M. Liouville de cette manière d'arriver aux résultats de M. Dirichlet, j'ai appris de notre savant confrère qu'il y était parvenu, de son côté, en se servant des propres indications de M. Dirichlet, et l'avait fait connaître à ses auditeurs du Collège de France.