I- 2XA

— 4(jl9 4-\/53A)Apq — 2(cvl) — 3v/5A)Aii2= o.

Ce résultat complète l'étude que je me suis proposé de faire de la méthode de M. Kronecker, en prenant pour point de départ les quantités h, ti, tl), ^ et je serais au terme de mes recherches si la marche que j'ai suivie ne conduisait encore à une autre fonc-

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tion cyclique dont je vais dire quelques mots. Aux expressions U^= a6FF^F2F3F/, et V^= a^HH^H2H3H4, composées avec les facteurs F et H de l'invariant du dix-huitième ordre, on peut

joindre celle-ci : W^=a6GG^ G2G3G4, que la substitution

laisse invariable, de sorte qu'on en déduit, en la multipliant par u^ ou par H^, une fonction du huitième ordre, changeant de signe par cette même substitution, et que l'on peut par conséquent prendre pour a. Soit donc ainsi uz= puW -\- qn^ on aura, à l'égard de l'équation Ar=:o, cette conséquence remarquable que les coefficients àep-^pq^ q^ étant du seizième, du dixième et du quatrième ordre, cette équation ne contient pas le terme en pq. Mais j'ajourne l'étude de cette nouvelle espèce de fonctions, et je vais terminer en reprenant sous un autre point de vue la question déjà traitée des conditions de réalité des racines de l'équation du cinquième degré.

En désignant par A, B, G les invariants fondamentaux et posant

Di=. 25AB-HI6G,

N = Df— ioABD,-f-9B2D,

j'ai donné au paragraphe X, pour les conditions de réalité des cinq racines, ces trois criteria :

D>o, BDi<o, N<o,

qui sont du huitième, du vingtième et du vingt-quatrième ordre, et l'on a vu que, les conditions B >> o, D^ <C o ne pouvant jamais avoir lieu simultanément, le second critérium donne à la fois B^ o, Di>o. Or il est bien remarquable que le théorème de Sturm, appliqué à l'équation en )^, reproduise exactement les mêmes résultats, et c'est ce que je vais établir avant de donner le procédé qui conduira à des criteria d'un ordre moins élevé. Voici d'abord, en posant avec M. Sjlvester

9A=9A3 2ii(AB + G),

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cette équation en A, qui a été calculée par le P. Joubert, ^^•-i*(l)V,oD(i)'-,o,5AD-..,(V)-

-1-5D(5D — 4A2)( — )— D(io8A — 9AD — iooA=^) = o.

Cela posé, on trouve, par le calcul direct du premier terme des fonctions intermédiaires et en supprimant un facteur numérique,

¥2=6X3-1-..., V3 = -NX2 + ....

Mais, pour la quatrième fonction, les expressions des différences des quantités "k^ données au paragraphe XX, montrent qu'elle contient en facteur le carré de l'invariant da dix-huitième ordre, et l'on trouve ainsi, pour le coefficient de son premier terme, l'expression

K^2 (/v^v/ivFvGvHv)2=25K2Di.

Quant à V5, on obtient K''D, d'où il résulte qu'en supprimant les facteurs K^ et K^' on retombe bien sur les criteria déduits de la forme quadratique

Di^2 QBBtç -D(Di — ioAB)(;2

-hD[— Bi^^-+2DitMv-h(9BD — ioADi)w2].

Je remarque [encore que l'équation en X donne un système simple des covariants doubles en x et x' définis au paragraphe XL et servant à déterminer par leurs signes le nombre des racines réelles de l'équation proposée /*(^, i) = o qui sont comprises entre les limites données. En effet, on peut prendre, en désignant toujours ces racines par Xo, x^^ . . ., et posant V =y*(^, i).

Quant à \^4, on supprimera le facteur K^, amené par les symboles Ç qui contiennent quatre des racines X, et enfin on prendra *C>5 = /(^^, i)D. On voit qu'ainsi t?i sera du premier ordre, 'Ç>2 du neuvième, t?3 du vingt-cinquième, <) !^ du treizième, et ^^ du neu-

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vième. Mais j'arrive, sans m'arrêter plus longtemps sur ce sujet, a la méthode élémentaire, et qui donne pour les conditions de réalité les criteria du quatrième, du huitième et du douzième ordre, et an nombre de trois seulement. Elle se fonde sur ce que les quantités u^, Uq, ... satisfont à l'équation suivante

que l'on forme très facilement, et dont les coefficients seront tous réels si nous supposons le discriminant A positif, ce qui est, dans la question présente, le seul cas à examiner. Or, en revenant à l'expression d'une des racines, par exemple

on reconnaît immédiatement que, Xq étant réel, X2 et x^ imaginaires conjugués, ainsi que x^ et ^4, on obtient pour u^ une quantité de la forme m^ — i , dont le carré est essentiellement négatif. En établissant donc que l'équation en u n'a que des racines positives, c'est-à-dire que son premier membre n'offre que des variations, on aura les conditions à Ja fois nécessaires et suffisantes pour que les racines de l'équation du cinquième degré soient toutes réelles. Si l'on convient de prendre positivement ^/A, on parvient ainsi à ces résultats fort simples

et il est visible que le cas des quatre racines imaginaires sera caractérisé par un changement de signe des deux derniers criteria, en conservant la condition A ^ o ( ' ).

(^) Nous n'avons pas signalé toutes les erreurs de calcul qui se trouvaient dans ce Mémoire, et qui ont été corrigées par M. Bourget. Celui-ci a refait tous les calculs, sauf en deux points. Il a admis que la réduite du cinquième degré de l'équation du sixième ordre élaiL exacte dans le travail du P. Joubert sur les équations du sixième degré ( Comptes rendus, t. LXIV). Il a admis comme exacte

également la formation de Téquation en ( — j (p. 423) et le calcul des premières

fonctions de Sturm. E. P

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SUR LES INVARIANTS