B , 5(982— AG) I

les valeurs en p et q de t^ u, ç, w, savoir : ^ = Lq, ^^ = L, , . . .,

(1) A l'égard des formes du troisième et du quatrième degré /(^, y), le covariant quadratique ou Hessien, quand on y fait ^ = ^g, y =r i, a pour valeur le carré fU^o, i) et le covariant du troisième ordre le cube de la même quantité.

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4l8 OEUVRES DE CHARLES HER MITE.

font disparaître le coefficient de 5-, propriété bien remarquable de la forme cubique en t^ u^ t^, w qui représente ce coefficient.

Un autre point de vue sous lequel on peut encore envisager la formule (i) résulte de l'équation

n'(Ao) =

a^FGH'

établie au paragraphe XIX, car elle conduit à cette expression où n'entre plus que la quantité Xq, savoir

r..r /YLo-f-XoLi-t-Xf,L2-i-Xf,L3

L'équation proposée /(^, i)= o disparaît donc pour faire place à celle-ci : n()^)= o^ qui est directement ramenée à l'équation (2). Ce résultat obtenu, il ne reste plus, pour arriver à la résolution par les fonctions elliptiques, qu'à calculer l'expression de la quantité A, afin de déterminer par l'équation A = o le rapport -•

J'ai indiqué au paragraphe XII par quelle voie M. Brioschi avait été conduit à l'équation en ^, et je rappelle succinctement qu'en désignant par u^ une fonction cyclique des racines de l'équation générale du cinquième degré /(Ç, i)= o, qui change de signe par

la substitution ] ^ [? et nommant iii ce que devient u^ par la sub-

stitution I /^ [5 l'expression suivante, où s est numérique, savoir

^ = £ [ li^-^ Uq^ (jd{U2-^ Us )1 X[Ui-i- Ui^-^ io{ U^— U() )] X[Us — U2^ (Jù{ lli — i^4 )],

satisfait à l'équation

les quantités A, B, C et II s' exprimant rationnellement par les

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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 4l9

coefficients et la racine carrée du déterminant de la proposée. C'est dans le cas particulier de A = o que cette équation est immédiatement résolue par les fonctions elliptiques, et l'on a trouvé qu'en faisant

A 0 /a = w^ y/o H- Uq~\- Ui-^ u^^ a-^-^ Wr,,

OÙ p est une racine cinquième de l'unité, donnant

on avait

A — A§ -4- Al A2.

Cela posé, voici comment s'obtient cette quantité si importante lorsque l'on prend pour a l'expression dont j'ai fait usage

u — pV) -^p'K^ -+- 'lOL^ fghl{q\x -H ^'t)).

On a vu que les quatre indéterminées /?,/>^, g, q' se réduisaient, dans la valeur de z^ aux deux suivantes

de sorte que l'on peut supposer p =: o, 5^^= o, ce qui donne plus

simplement

u =:)^V -\- 'la^/g-hl i]n^

ou encore, en changeant q en q + 2^, comme au paragraphe XXI, i^ — pXp -}- 2a^/^/i/(q -h 2p)u.

Or, on a pour les six valeurs de V et II ces expressions

Vo=o^'[-/ê-h^^'-^(f-'^h)g'^fl¥ -\-h'^lEl 2Uo— l-a-Vi(F -H),

t?l=:a6[-4-/^•/^H3-(/^--2^)/^/lm-^WG], 211^ =.- a2^(H - G),

■\'>4-=a'^[+/é^/^H3-(A.-2^)/2Am + ^^/G], 2U4-3-a2^-(H-4-G),

t?,^aS[-/^/iG3+(^--'2/)/.^-^/G-H/WF], 2U2 — aV(F~G),

^93=a6|;^/^7iG3-(^-2/)/i2^/G+/^/F], 2U3 — «^/(F -h G).

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Elles montrent qu'en supposant G = o on a

et, par conséquent, u^=^U;^^ u^z=l u^^ de sorte que l'équation A = o devient alors une somme de deux carrés, savoir

OU encore, en faisant toujours co =

U^ Wq

Ua h- W

Mais l'hypothèse G = o revient à supposer nul l'invariant du dixhuitième ordre, ou bien à établir entre les invariants fondamentaux de la forme du cinquième degré une relation du trente-sixième ordre, et, comme la quantité qu'il s'agit d'obtenir est seulementdu douzième, cette relation ne pourra la modifier en rien, et c'est en me plaçant dans ce cas particulier que je vais en faire le calcul. J'observe d'abord que les égalités

donnant pour G=:o : H^ = — 4 (/', Y'^■=^lh, il suffit, pour obtenir les invariants, d'employer cette valeur de F- dans les expressions du paragraphe XVII. Mais on peut éviter ce calcul, car les invariants, fonctions symétriques des racines, ne changent pas

de valeur en effectuant la substitution suivante •* ] J [ qui

change F, G, H,/, g', h en G, —H, —F, g^ A, /; ainsi l'on a, par exemple, '

^-i{h'^+hf+r')&-{h-f){ih''-+hf+ip)i.

Or cette dernière expression donne immédiatement

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Il,

Wl

— Wo

et l'on animait de même

i^ :=, 2 /i/( /i - /) ( /^e ^ 3 /^sy-.^ 8 /i*/2 + 1 1 /i3/3-H 8 ;i2/4 |. 3 /i/5 + /6 ) /3.

Cela posé, en faisant w^= — ^- !^ ? on trouve pour G = o,

après quelques réductions faciles,

f2-a6[co/2(/-.^co)n^-i-/^^(/i-/a))q]/F,

^=^a6[co7i2(/— ^w)2|)-/^/i(^-/ico)il]ZH,

et il vient, pour la somme des carrés, après avoir remplacé F^ et Hpar ^Ih el — 4^/?

Soit donc, en me bornant au coefficient de p^,

= a JU3 f- a'Jl. A + a"(D -H 6 aAo2 v/Â -I- 6V^-

On trouvera d'abord ct = o, en supposant /== o, et, après avoir supprimé le facteur /A, il suffira de faire /= A, /== — A, /= o, et enfi^n de comparer dans les deux membres les termes en/^/z, pour obtenir bien facilement

Le calcul des deux autres coefficients est plus facile encore, et l'on obtient en définitive l'équation