OUI

résultats

Fi,

, -Hi,

Gi,

Hi,

La substitution \ \ donnera

F, Fi, F2,

G, Gi, G2,

, H, Hi, Ho,

-Hi,

Ft,

( ^ ) Voyez mon Mémoire Sur l'équation du cinquième degré, Paris, Gauthier- Villars et Hermite, Œuvres, t. II, p. 347.

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Et comme toute substitution entre cinq quantités résulte de la composition des substitutions élémentaires

l a7v-M ) ( ^2V ) ( ^:sv3 )

on pourra, par ce qui précède, connaître l'effet d'une permutation donnée des racines sur l'un quelconcjue des quinze facteurs. En même temps que F, G, H, je considérerai les quantités

et je désignerai par /v? g'vi K ce qu'elles deviennent en ajoutant v aux indices des racines. Cela étant, on trouve que la substitution

I ^ [ opère les changements que voici :

-hu

ff,

ffu

gi-,

ffi,

— ff2,

— gu

As,

— f: —A: ~ Âi — /iv — fs

Quant à la substitution | U elle donne pour résultats

gi,

gi-,

gz,

gk i

As,

gk.

D'où l'on voit que les deux groupes de quinze quantités se permutent de la même manière, sauf certains changements de signes, quand on effectue les mêmes permutations sur les racines de la proposée. Mais le lien que nous établissons entre elles se justifie plus complètement, d'abord par ces relations où, pour abréger, on

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fait

/=(or)(o2)(o3)(o4), savoir

et ensuite par cette remarque que les divers produits

a^Gv/v, ^^G(ygY: a^Gyhy^

a^Hv/v, a-Hv^v, a^Byhy^

a étant le coefficient du premier terme de la forme du cinquième degré, sont des invariants. Ces produits donnent lieu à ce fait algébrique que neuf d'entre eus., correspondant à la même valeur de l'indice v, suffisent pour en déduire linéairement tous les autres. On a, en effet, les relations qui suivent :

2Hi/z,==. F/i-G^-H/;

'2F,/2=-F/.-hG^^H/, 2G2^2--F/-i-G/i + H^o-,

'2F3/3--FA-G^-H/, ^G3^3- + F/-i-G/2-H^, 2H3/i3=— F^-t-G/-i- H/i;

2F4/4 =-f-F/-i-GA + H^, 2G4A--F^ + G/-H^, 2H4/i4 = -i- F/i H- G^— H/.

Tous les autres sont d'une forme presque aussi simple, et en voici

le tjpe :

2F1/1.1 r= FA + G^-h H(/i - g\

2Hi^i=F(/-/i)-G/+II/z,

.,^Gi/i =. ~ F/+ G(^- /)+ H^,

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De là résulte la possibilité d'exprimer au moyen de F, G, H, d'une part, /, g^ h^ de l'autre, des fonctions des racines de la forme proposée qui sont des invariants. Considérons, par exemple, l'expression

qui est évidemment cyclique. En vertu des relations précédentes, elle prendra cette forme très simple

Les fonctions FF^F2F3F4, HHjH2H3H4, qui sont également cycliques, s'expriment d'une manière analogue. En faisant, pour abréger,

f'^P + gh,

j'ai montré dans mon Mémoire Sur U équation du cinquième degré qu'on a

FF1F2F3F4 =F( H2A3 uFHM'-4-A'2/), HHiH2H3H4= H(- F2/' •+• FH//' -f-/'^/).

On obtiendrait pareillement

GGiG2G3G4=G[-G2(/-A)^2|FH(/2 + /A-f-A2)^

Mais, dans ces formes si simples de fonctions compliquées de racines, le caractère cyclique de ces fonctions n'apparaît plus d'une manière évidente, et pour le retrouver il faudrait toute une théorie, qui me mènerait bien au delà de mon objet actuel. Je me propose en effet, en considérant des expressions non seulement cycliques, mais symétriques, d'établir que tout invariant dont V ordre est multiple de 4 est une fonction homogène de F^ et l ayant pour coefficients des polynômes entiers en g et h.

Dans ce but, je considérerai les diverses déterminations de la fonction suivante

it=(oi)(i2)(23)(34)(/io),

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43o OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.

qui, multipliée par a^, donne évidemment un invariant. Ces déterminations, au nombre de vingt- quatre, sont deux à deux égales et de signes contraires, et peuvent ainsi se réduire à douze, que je partagerai en deux groupes et désignerai comme il suit :

Wo = (o3)(34)(4i)(i2)'(2o),

^3-(3i)(r2)(24)(4oj(o3),

P^=(o2)(24)(4i)(i3)(3o), Po = (o4)(4'^)(23)(3[)(io), Pi =(io)(o3)(34) (42)(2l),

^^ a été tiré de u^ par la substitution \ ^ >: Uq et Çq ont été

respectivement déduits de u^ et i^^ par la substitution ] >;

( cTsv^ )

enfin Ui et r^- de Uq et Pq en ajoutant le nombre / aux indices des racines pris suivant le module 5. On sait qu'à l'origine de la théorie des invariants on a considéré comme fonctions symétriques des carrés de ces douze quantités les invariants fondamentaux du quatrième, du huitième et du douzième ordre des formes du cinquième degré. Ainsi l'on a, en désignant avec M. Sjlvester l'invariant du quatrièm^e ordre par J et le déterminant par D,

^H^l + ^o ■+ ^1 +^1 + ^1 +^1) =— 5^J + 3.5V5D, et la somme des produits trois à trois des carrés conduit à

= 4.59(48JK — 768L — A), en adoptant les dénominations du même auteur. Or on a, comme

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on le vérifie sans peine, ces deux systèmes de relation, savoir

2^^o--/^(H- F), 2Po = -/(H-f- F),

On en déduit, en faisant la somme des carrés, l'expression de l'invariant du quatrième ordre J, sous la forme

+ (2H2-]-F2 -hG2)/z2]== — 4.5U,

et, si l'on écrit la somme des produits trois à trois, u^ulu'^^-^, . ., de cette manièrj :

{ul-^ al){iil-^- iil)(ul^ ul) -f- ulu^( u\ + iil -^ u\-^ ul) -{- al uK ul-^ ul -^ ul -+- ul) 4- ul ul (ul-h Uq-^- t^f + ul ),

on parviendra à l'invariant du douzième ordre, exprimé comme il suit :

2759(48JK — 768L— A)

= 4ai2(F2-f-G2)(G2-4-H2)(H2+F2)/2^2/^2

t ai2(F2 — H2)^-[(F2 -f- G^^)^2 + (G2H- H2)/l2]/4 , ^12(02— F2)2[(G24-H2)/i2 + (H2-}-F2)/2]^4 -4-al2(H2-G2)2[(H2+F2)/2 + (F2 + G2)^2j/i4.

Adoptant donc le discriminant d^ D = a^ /'^ g^ h- 1'^ pour invariant du huitième ordre, la proposition précédemment annoncée se trouvera démontrée à l'égard de ces invariants fondamentaux, en observant que F, G, H n'y entrent que par leurs carrés, de sorte qu'au moyen des relations

F2 G2=4/A, et de celle-ci qui en découle

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on pourra effectivement les exprimer par F-, g^ A, /. Nous obtieurdrons ainsi

.59(48JK — 768L — A)

~il^gh{g — h){g^-\- '^g^h-Y-^g^h'--\~iig^h^-^^g^h'-^'^gh^^h^)].

Or, ces expressions sont des fonctions homogènes de F- et /, dont les coefficients sont des polynômes entiers en g et A, et il en sera de même par conséquent de leurs combinaisons entières qui représentent tout invariant de la forme du cinquième degré dont l'ordre est multiple de quatre. J'ajoute qu'un invariant donné ne peut être obtenu de deux manières différentes, comme nous venons de le dire; car, en égalant deux expressions de cette nature, on arrive à une équation homogène entre F- et /, qui pouvait donner

-r- en g et A, c'est-à-dire une fonction de la racine Xq^ et par conséquent cette racine au moyen des quatre autres, puisque g et h ne contiennent pas Xq.

Je terminerai cette Note par ce qui concerne, au même point de vue, l'invariant gauche, et à cet effet, en posant comme plus

haut

h'^K>^-^fg,

j'emploierai les relations suivantes qu'il est aisé de vérifier, savoir

2(^2 — ^3)HiH4=:FA'-|-H/', 2(^2-^l)H3G4-G/-|-F^-',

2(^4 - ^3) Gi H2 =- G/'— F ^'.

On en déduit, en les multipliant membre à membre,

— 64/é^/zK = ai8FGH(HV'^— G''h"^)(F'^h'^— H'^f"^){G\f"'--F^ g-'^). Ecrivant ensuite

F2/,'2 Hv■'^-F■H/^'^-/^)-4^^/'^

et observant qu'on a

h'-'-f' = \fgh{h-f),

on en conclut immédiatement

K = ai8FGH[F2(A —f)fh — If""]

x[llHg--h)gh — W'\,

et l'on reconnaît que la quantité par laquelle est multipliée FGH peut encore être mise sous la forme d'une fonction homogène de F^ et /.

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