I. — Des déterminants

Considérons n + i équations du premier degré à ai H- i inconnues, dont les coefficients soient des quantités littérales, savoir :

ax ^hy -\-cz -^-.,.-^hu = K, a' X -\- b' y -hc'z ^...-\-h'u = K',

.h^n)u= K^fi).

Le dénominateur commun des valeurs des inconnues, qu'on enseigne à former en Algèbre, et qui dépend seulement des coefficients de ces inconnues, a reçu le nom de déterminant, et se désigne par la notation abrégée

a o c ... ri

aifi) l)[n) f.[n) , . . Jiin)

Ainsi, par exemple, pour deux équations à deux inconnues,

ax ■+■ by = K,

on écrira

ab' — ba' -.

Pour trois équations à trois inconnues

ax -^by -^cz = K, a! X -4- b' y -f- c' z = K',

a"x-{-by-\-c"z=^K%

on écrira de même

(3) ab' d' -\- bc' a" -\- ca' b" — cb' a"~ ad b" — ba! d'

Parmi les monômes qui entrent dans le déterminant (i) développé, on distingue celui qui sert à former tous les autres par des échanges de lettres, savoir : aV d' ^ . . ., A^'^^ On lui donne le nom de terme principal^ et il est toujours affecté du signe +. Ainsi aV et ab é sont respectivement les termes principaux des déterminants (2) et (3). Des diverses propriétés des déterminants qui découlent immédiatement de leur loi de formation, nous énoncerons celles-ci, qui seront utiles plus tard :

i'* L'expression développée du déterminant (i) a la forme

où A, B, G, ..., H sont des quantités indépendantes de a, b^ c, ..., h.

1 " Un déterminant s'évanouit identiquement lorsque deux lignes horizontales ou deux colonnes verticales sont composées des mêmes termes. Ainsi, par exemple,

ah — ab =^ o, a b c

3'' Un déterminant ne change pas de valeur lorsqu'on remplace les colonnes verticales par les lignes horizontales, de manière que le terme principal reste le même. Ainsi, par exemple,

= ab' — ba! .

Les deux premières de ces propositions se trouvent démontrées dans les Traités de M. Lefébure de Fourcy et de M. Briot; nous laissons comme exercice à trouver la démonstration de la troisième. Mais une autre, qui recevra d'importantes applications, nous reste à établir; et nous allons d'abord la présenter dans le cas le plus simple.

Considérons à cet effet les deux fonctions linéaires

ax -

et supposons qu'on y remplace œ et y par ces expressions,

ce = aX + a' Y,

elles deviendront respectivement

ou, pour abréger.

AX -f-BY, A'X-f-B'Y.

Cela posé, je dis que le déterminant

sera égal au

produit des deux déterminants

et

La vérification se fait sans difficulté, dans ce cas très simple,, mais on peut éviter tout calcul en raisonnant comme il suit. Considérons les deux équations

\ ax -1- h y = K, ( a' ce -H b'y = K'.

On sait qu'en les résolvant on trouvera, pour le dénominateur

commun des valeurs de x et v, le déterminant , ^

même manière, relativement aux deux autres équations

5 et de la

AX -h BY = K, .VX-hB'Y = K',

le dénominateur commun des valeurs de X et Y sera le détermi- A B

nant * ' p' ' ^^' ^^ peut trouver X et Y par les équations

^ = aX-i-a'Y, j^^X-hp'Y,

quand on y aura mis, au lieu de x elj^ les valeurs fournies parleséquations (4). Maintenant, et sans qu'il soit besoin d'effectuer ces calculs, on doit voir qu'en raison des valeurs fractionnaires de x et y, on trouvera pour dénominateur commun de X et Y le pro-

diiit des déterminants être égal au déterminant

et