HOMOGÈNES

Ainsi ce produit doit qui, d'après les équations (5),

a h a' h' A B A' B' représente aussi le dénominateur des valeurs de X et Y.

A la vérité, cette démonstration n'est pas entièrement rigoureuse, mais elle met immédiatement sur la voie du théorème général que nous allons énoncer en prenant pour exemple les trois

fonctions linéaires :

ax -i- hy -H c^,

Concevons qu'on j mette, au lieu de x^ y y s,

x^ aXH-a'Y-4-a"Z, y= (^X+(B'Y-hP"Z, ^ =YX-i-y'Y + y''Z;

elles deviendront respectivement

(a'a -h b'^ H- c'y) X H-(a'a' ■+- è'P' - {a'oL-{-b"<^-+-c'^()X-h{a'^'-^b'^'-

OU, pour abréger.

■cY) Y-f-(aa" +6(i'' -i-CY")Z, ■ C'Y) Y -f- (a' a' -f- b' p" -f- c'f)Z,

-f-BY

GZ,

Cela posé, on aura comme précédemment l'équation

La démonstration complète se déduit de la loi même de formation des déterminants; mais, comme elle offre peu d'intérêt par ellemême, nous l'omettrons, en insistant néanmoins sur la nécessité de bien se pénétrer du théorème qui va bientôt trouver d'importantes applications.

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44o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

II. ~ De rinvariant des polynômes homogènes du second degré et du polynôme adjoint.

On nomme polynômes homogènes du second degré des expressions telles que

kx'^ -H A'jK^ + Pi!' z^- -H 2 BjK-s -f- 2 B'^a? 4- 2 B''^jr, ... ;

ce sont ces expressions dont nous allons étudier les propriétés, en considérant, comme nous Pavons déjà dit, les cas particuliers les plus simples, et laissant aux élèves à généraliser les énoncés et les démonstrations.

La première que nous allons considérer dans le cas du polynôme à deux indéterminées seulement

A ^2 ^ 2 B ^y -1- GjK^ ,

consiste en ce que, si l'on j remplace x el y par ces formules

il se transformera en un polynôme qui est encore homogène et du second degré par rapport aux nouvelles indéterminées X et Y. Ce polynôme sera ainsi de la forme

XX2-i-2\)bXY-f-GY2,

les coefficients ayant ces valeurs :

X = Aa2 +2Baa'-i- Ca'^,

\^\) = Aab ^ B{ab' -+- ba') -\- Ca' b'^

e = A62 ^^Bbb' -hCb'^.

Cette propriété très simple conduit naturellement à se proposer la question suivante :

Etant donnés deux polynômes quelconques, tels que

Aa?^ -HaBarK -H Gjr^,

XX2-f-'2DbXY-i-eY2,

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THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. /\/\l

est-il toujours possible de déduire le second du premier en y faisant une substitution de la forme

X =^ aX. H- è Y, v== a'X + è'Y?

Le problème admet-il un nombre fini ou infini de solutions; est-il résoluble en prenant pour les coefficients de la substitution des quantités réelles, les coefficients des polynômes donnés étant eux-mêmes supposés réels?

Notre principal objet dans cette Note sera d'établir quelquesuns des principes qui servent à résoudre ces questions et de montrer comment ils s'appliquent à la Géométrie et à l'Algèbre; faisons aussi observer en passant qu'une branche étendue des Mathématiques, l'Arithmétique supérieure, trouve également son point de départ dans la comparaison des polynômes homogènes du second degré, lorsqu'on suppose que les coefficients des polynômes et ceux des substitutions sont des nombres entiers.

Nous commencerons par établir qu'un polynôme du second degré à n indéterminées est toujours réductible à la somme de n carrés de fonctions linéaires de ces indéterminées. Observons pour cela qu'en ordonnant ce polynôme par rapport à l'une des indéterminées que nous nommerons x pour fixer les idées, il prendra la forme suivante :

A.cc^-^ 2B^-h G,

B étant une fonction linéaire, et G une fonction homogène du second degré des n — i indéterminées restantes. Or, on peut écrire

A^2^9.B^-+-G= ^(A^-f-B)2-+- i(AG — B2),

et mettre ainsi en évidence, d'une part le carré de la fonction linéaire A^ -j- B, et de l'au tre un polynôme homogène k n — i indéterminées, AG — B^, multiplié par la constante y* Gela posé, on

opérera sur ce nouveau polynôme, comme sur le proposé, et on le décomposera encore en deux parties, à savoir : le carré d'une fonction linéaire et un polynôme k n — 2 indéterminées. Gontinuant donc de proche en proche les mêmes opérations, il est clair

44'-^ OEUVRKS DE CHARLES HERMITB.

qu'on parviendra à la réduction annoncée quand on aura épuisé toutes les indéterminées. Par exemple, soit le polynôme

on écrira successivement

/= X'^ -h '2 X ( y -^ Z) -\- 2JK^+ Ay^ -h ^2 — (^ i j^ | ^j2 ^ j/2^ ^JK^,

y2^.2.yz = (y-^zy— z\

et il viendra

f—(a;-i^y-^zy-h{y-^-z)^—z-.

Plus tard, cette réduction sera étudiée attentivement; actuellement, nous nous bornons à remarquer qu'elle peut s'effectuer de plusieurs manières, en commençant chaque opération par l'une ou par l'autre des indéterminées, et que, pour arriver effectivement à une somme de carrés, de fonctions linéaires, il peut être nécessaire d'introduire des quantités imaginaires dans les coefficients de ces fonctions. Ainsi, dans l'exemple précédent, il faudrait écrire

f=(a;^y-^z)'^^(y-+zy^-^(zi/^\

Quoi qu'il en soit, et sans insister sur d'autres particularités, nous allons, comme il suit, en tirer la notion de Vin^ariant, Considérons le cas le plus simple du polynôme

que nous mettrons sous la forme

Aa72-H iBxy -f- G,/^— (ax -h by)^-^ {a' x -i- b'yy.

Cette équation ne suffira pas pour déterminer les quatre quantités a, b^ a\ V\ mais il est très facile de trouver, en fonction

de A, B, C, le déterminant , ,,

En effet, soient pour un instant

X = ax -I- by^

\ Y = a X -h y y^ de sorte 'que l'on ait

A^2+ 2B:27J-|- Gj2=::= X2-1- Y^.

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THÉORIE DKS POLYNOMES HOMOGÈNES. 443

En prenant successivement les dérivées des deux membres de cette équation par rapport à ^ et y, et divisant par 2, il viendra

Kx -f- BjK — <^X -1- <2'Y, Ba7-hGjK == ^X-hô'Y.

Or, X et Y ayant les valeurs définies par les équations (i), on pourra égaler les déterminants relatifs aux fonctions linéaires

Kx -\- BjK, Ba7-f- Cy

aX èX-

mais, d'après un théorème établi au paragraphe 1, le second de ces déterminants sera égal au produit

ou même a

; car, d'après une proposition énoncée au paragraphe I, un déterminant ne change pas de valeur quand on met les lignes horizontales à la place des colonnes verticales. Nous en conclurons la relation à laquelle nous voulions parvenir, savoir :

Or, la fonction des coefficients du polynôme A.^^ -+■ i^xy -\- Gj^^, à laquelle nous sommes ainsi conduits,