bd-hlabd+ab^c

qui entre dans la valeur da facteur

y/ — ib (^a -\- b lù )

Des hypothèses faites sur les entiers a, b^ c, d résulte, en effet, la

congruence

bd -\~ labd -^ ab^-c^ — bd (modS),

ce qui permet d'écrire

-7- bd

» Si nous passons ensuite à la quantité 60, i ( ji )' où

b' z=^ - et c' = 2c remplacent b et c^ a Qt d ne changeant pas, on a

jjL, — ^'-}- ab' , V, =z d -^ c' d',

le premier de ces doux nombres est encore pair et le second impair, mais Y-K n'est pas nécessairement divisible par 4, et, par conséquent, on a l'égalité

où T^ représente ce que devient, dans ce second cas, le facteur T. » Désignons aussi par 5^ et S' les nouvelles valeurs de 8 et de S ;

on aura

/ — ib' {a -f- b' . 2Cl))

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c'est-à-dire

et nous en concluons

sj—l.ib{a-^ b(ù)

b'^nh-

)) Je m'arrêterai à cette formule, et je remarquerai en premier lieu que, en passant de S à S^, le nombre b est remplacé par—- Il en résulte que, ayant posé b^2^b]^ l'exposant k varie de l'une à l'autre d'une unité. Cela étant, la comparaison des valeurs de S et de S' nous donne l'égalité

d'où résulte

)) Ceci posé, écrivons le fa^.teur {■ — i) ^ sous la forme e'' ,

€t employons l'expression de S^, à savoir :

~-~ib'd-h2ab'd+ab'-c') —~Kbd-v-labd-\-ab'^c)

on aura ainsi

h'-\~ab' rrr iTï ^ „ ,, . , , , , ,. , i —r [a-—l-h2bii-ha)—Sbd—tabd—ab-c]

(-1) ' Y =^ » Or, on vérifie facilement la congraence suivante :

(A) 2b{i^a) — 3bd — labd — ab'^c^ — ab (mod i6),

faisant, en effet, passer tous les termes dans un même membre et divisant par b^ qui est pair, elle peut s^écrire

2(1 — a<i) + 3(a — d) — abc ^ o (mod8)>

puis, d'après la condition ad — bc =: \ ^

— ibc -f-3(a — d) — a{ ad — i ) e^ o ( mod 8 ) ;

mais, b et c étant pairs et a impair, on a

'2/^c^BO, «2 SE 1 (mod 8);

elle deviendra donc simplement

4(a^^/)s^o (mod 8), H. - II. 2

l8 OEUVRES DE CHARLES H E R M 1 T E .

ce qui a lieu, en effet, a et cl étant impairs. Nous avons, en conséquence,

b'-^iib'

» Nous obtenons ensuite, au moyen de l'expression qui a été notre point de départ,

d;(oj) ==

Oo,i('2W)

la relation fondamentale

» On en tire les deux systèmes de formules concernant les fonctions ^(w) et J>(w) pour tous les cas que présentent les entiers a, /?, c, d^ pris selon le module 2. Ces cas sont indiqués dans le Tableau suivant, que j'ai donné dans mon article Su?' l'Equation du cinquième degré :

iff

» En premier lieu, je change, dans l'équation (I), oj en et a^

/>, c, d en b^ — a, d^ — c; on trouve ainsi

■ bio /

: cû (co) e ^

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» Dans la même équation, je remplace ensuite to par w — ï , a et c par a -{- b ei c -\- d; il vient

.a -^ 0(jj / 'i^(w)

Passant à l'équation (II), je change w en w -h i , a et c en a — 6 et c — c/, ce qui donne

C + doJ \ o(0i)'—- (ih

(co)

(IV) j,pi2i^) = y^.e

» Je continue en remplaçant, dans ( V), w par — - et a, b^ c, d par bj — a, 6/, — c, et j'obtiens

» Pour avoir le système complet des formules cherchées, il ne me reste plus qu'à changer dans cette équation to en a> — i , a et c en a + 6 et c 4- <i; on a ainsi

/ c -+- r/iù \ ^ ( W ) — nb

(Ilf) ^ j- - ^f^e

en employant l'égalité

cp(w — i) = e 8 1^:^.-.

^ 6(co)

» Voici maintenant les résultats réunis et mis en regard des six

cas énumérés dans le Tableau précédent :

^. / C-^ dLO\ Ll (b^^^aù-l)

/ C-f- ^W ^ ^(lù) ——au

lïf. 4> -r- =-V^^ 5

YI.

■' c + (^/w <:i H- b(Si ) cp ( co ) "

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» J'ai à j joindre enfin les formules qui concernent la fonction cp(t). Je remplacerai à cet effet a, b^ c, cl par — c, — d^ c/, b] on chansre ainsi