ÉLIMINATION DIÎS FONCTIONS A R B I T II AI RES
et en remarquant que le déterminant
<r/cp da d^ d%
di dx doL dy
d^ dcf. d^ d^L
da dx da dy
s'évanouit, nous en concluons la relation suivante :
6/cp d^ dx
d'^ d^ dx
dz dy
dz
dz ^ dy
dz
Gel;
a po
se, prenons en particulier
cp(^, 7, z, a)
dx dz '
^ df df
on en tirera immédiatement
dx dz
^ d\f ' dx dz '
d'f „. ^ df
dz'^
iP^'-^iz^^ -^'
dz
d^ d'^ dy dz
d^ dx
dz-
dx dy dy dz
dx dz
dz
d^ ^ cJA^ d^f dy ~^ dz dy^
dy dz et, par suite, l'équation cherchée
dz
ijb2 jue = G.
VI. Nous ne nous sommes occupé jusqu'ici de la formation des équations aux différences partielles que dans le cas d'une fonction de deux variables. Considérons maintenant, par exemple, une fonction u de x, y^ z^ en la définissant par ces trois équations, où entrent deux paramètres a, [3 et un nombre quelconque n de fonctions arbitraires A, B, . . ., L de ces paramètres, savoir :
cp(^, y, z, u, a, p, A, B, . . ., L)== o, ^(^, jK, z, u, a, p, A, B, . . ., L)r=o, 0(:r, jK, z, u, a, [3, A, B, .. ., L)= o.
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5l4 OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.
L'élimination des fonctions arbitraires s'efïectuera par la même méthode que précédemment, et donnera pour résultat une équation aux différences partielles d'ordre a. La même conclusion s'obtiendra aussi en considérant les relations
mais elle n'a plus lieu si l'on pose seulement deux équations avec un seul paramètre variable, savoir
^.(^^7? ^5 ^^ a, A, B, .. ., L)= o, ^{x,y, z, IL, a, A, B, . . ., L)=: o,
car alors on peut former une équation aux difierences partielles d'ordre /?, représentant le résultat de l'élimination d'un nombre de fonctions arbitraires supérieur à n et égal à t, /? (^ -h i ). Et quand le nombre des quantités A, B, . . ., L n'est point compris dans cette formule, par exemple lorsqu'on le prend égal à quatre, de sorte qu'on ne puisse pas obtenir une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre, on parviendra, en introduisant les dérivées du troisième ordre, à plusieurs relations distinctes au lieu d'une seule. C'est là une circonstance que présente souAcnt l'élimination des fonctions arbitraires, et je vais en donner an exemple en considérant l'expression
où F^(^/) et F2(^) sont deux fonctions arbitraires de u et (^, qui sont des fonctions déterminées de x et r. Qu'on forme, en efi'et, les dérivées partielles du premier et du deuxième ordre de ^, on obtiendra six équations où entrent les quantités
dont l'élimination ne sera pas possible, en général. Mais, en s'élevant aux dérivées partielles du troisième ordre, on ajoute quatre équations en introduisant seulement deux nouvelles quantités F'^'(i^), F'^'(i/), de sorte qu'il deviendra possible de former autant d'équations du troisième ordre qu'il j a de manières d'éliminer huit inconnues entre dix équations. On doit donc avoir en
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ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. 5l5
vue principalement les formes analytiques où l'élimination des fonctions arbitraires donne lieu à une conclusion précise, à une seule et unique équation aux différences partielles, et j'indiquerai encore celle d'Euler, savoir :
z = Fi(^ -H ay)-\- F2(^ -l- by)-^. . .-+- F,,(^ -h ly).
En faisant
(ce — a) (ce — b). . .(x — /) = x'^-\- px^^-^ -f- qx'^---{-. . .-h 5,
on trouve facilement
dy'^ ^ ^ dx dy^-^ ^ dx"^ dy'^-'^ "' ^ dx'^ ~~ ^'
Ainsi, par exemple, l'expression
z = Fi(x -4- <^JK)-t- F2(^ — <^Jk)
satisfait à l'équation
dy^~''^d^^ -'"'
qui s'offre dans d'importantes questions de Mécanique et de PliJsique.
