ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. DU

effectuer l'élimination du paramètre et de n fonctions arbitraires; c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre n.

Nous allons en faire l'apphcation à deux exemples tirés de la Géométrie, après avoir remarqué que les équations ci-dessus, en x' ely'j jointes à la relation (4) de la page 5o3, savoir

donnent, par l'élimination de x^ et y\ la condition A = o, A étant le déterminant du système suivant

dx"^

dx dy

d'-f dx dz

d\f dx dz

d\f dy dz

-dp

df p + -4- r

d^f ^ d^-f df dx dy dx dz ^ dz

d\f d\f df dy'^ dy dz ^ dz

d'-f , d'f dy dz ' dz'^ ^

IVIais si l'on ajoute aux termes de la première et de la deuxième ligne horizontale ceux de la troisième, multipliés d'abord par p et ensuite par q^ on aura plus simplement

en posant

dx"""

d\f dx dy

dy^

dy dz

dz"-

d\f dx dz

dz-^

df .

df ^

dz'

V. Nous considérerons en premier lien les surfaces déi^eloppables, enveloppes des positions à\ii\ plan mobile

z -Y- C/.X -{- Xy -I- B = o, et nous aurons immédiatement

A, =. r, ill) = s, 3 ^ t;

d'où, par conséquent, l'équation aux différences partielles du second ordre

5l2 OEUVRES DE CHARLES HERMIÏE.

Soient, en second lieu, les surfaces canaux, enveloppes des positions d'une sphère de rayon constant

(^__ A)2-t-(jK — B)5 + (^ — a)2.= «2^ dont le centre décrit une courbe quelconque. On obtient alors

1(1) = pq +(^ — a) 5,

et le paramètre a s'élimine au moyen des relations

qui donnent, en substituant dans l'équation de la sphère,

s/i^p'^-^cf

On obtient ainsi l'équation aux différences partielles du second ordre

a"- {s''- — rt)— a[{i -\- q^-)r — 2pqs -+-(i -^p^- )t]\/ 1 -^ p'^-^ q'^ La relation générale dont nous venons de faire usage, à savoir

iji>2 ji,a = 0,

peut encore se démontrer très facilement comme il suit. Je reprends, à cet effet, les deux équations

pour les différentier successivement par rapport à x ely^ en supposant que le paramètre variable tiré de l'une d'elles en fonction de x^y^ s, ait été substitué dans l'autre. On obtient ainsi

(icp d^ d^ da do do d(^ da

dx dz dy. dx ' dy dz d% dy '

d^ d'^ d^ da. __ d^ d^ d^ doc __

dx dz ^ dy, dx ' dy dz ^ dy. d'y '

Hosted by