SUR LA RÉSOLUTION
Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. XLVI, i858 (I), p. 7[5.
La théorie des formes cubiques à trois indéterminées conduit à plusieurs équations remarquables du quatrième degré qui jouent en perticulier un rôle important dans la détermination des points d'inflexion des courbes du troisième ordre. L'étude de ces équations m'ayant fait remarquer qu'elles offrent la plus étroite affinité avec celles qu'on rencontre dans la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, il ne m'a pas paru inutile de m'arrêter à ce rapprochement qui peut-être conduira à comparer de même les équations du neuvième degré dont dépendent les coordonnées des points d'inflexion, avec celle qui se présente pour exprimer, par exemple, sin am - par sinam.r. Cette analogie, d'ailleurs, m'a ouvert la voie pour représenter par les transcendantes elliptiques les racines de l'équation générale du quatrième degré, ce qui était le résultat auquel je désirais principalement parvenir. Avant d'exposer cette rechsrche qui se lie naturellement à celles que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Académie sur l'équation du cinquième degré, je rappellerai l'origine et j'indiquerai les propriétés principales de ces équations spéciales du quatrième degré, auxquelles conduit la théorie des formes cubiques à trois indéterminées.
Soient, en employant les mêmes désignations que M. Gayley ( ' ),
(') Je renverrai, pour les expressions de HU, PU, etc., au beau travail du savant géomètre, publié dans les Transactions de la Société Royale, sous le titre : Third m,enioir upon Quantics, et je me bornerui à donner ici leurs formes cano-
Hosted by
U une forme cubique quelconque, HU, PU, QU le covariant et les deux formes adjointes du troisième degré par rapport aux indéterminées, S et T les deux invariants de M. Aronhold, et Si une quantité définie par la condition
ces équations seront
(3) V{x) = ['iSx'* -I- 8T^3 6S"^^'^— 6ST^— T2~1S3 = o,
et voici leurs propriétés essentielles. Soient 3 une racine de la première et A une racine de la troisième, les deux fonctions
0U-H6HU, 6APU-hQU
seront décomposables en facteurs linéaires. Désignons encore par S^ une racine de l'équation (a) qui a été déduite de l'équation (1) en permutant S et Si, on aura
en nommant d le déterminant de la substitution propre à réduire U à la forme canonique
/p3 | j^3 | ^3 j 6 Ixyz.
Ces quantités S, S^, A auront d'ailleurs les relations suivantes :
S\ . I I /^ Sj
'=K'-^)- '-IJiJ
niques qui sont :
U = ^3 + j^3 p 2^ -f- Çilxyz^ HU = /2(^3|^3| .3) i,,^. 2p)xyz,
^\] ^ — l{x^-^y^-h z^) — {i — l\P)xyz,
QU == (i-io^-^) {x^-^y'-\- z^) —Ç>r-{b^^')xyz,
Hosted by
Ceci posé, je comparerai d'abord à Féquation modulaire
p^- H- 2 u^ v^ — 'iiiv — u'-" = o
les équations ([) et (2). On sait qu'en faisant z^==:cû(w), on a,, pour ç^ les quatre valeurs
or, en posant
et
on obtiendra, pour les quatre racines S, les expressions suivantes :
