CO -4- 2 . T

Maintenant, si l'on change S en S^, afin d'arriver aux formules analogues pour les racines Si de l'équation (2), on sera conduit au module

2v/sT

TH-v/Sf^ S'J =: T- correspondra, entre k et Z, celle-ci :

or à la relation S^

\--rk"

d'où résulte immédiatement cette conséquence que l'on passe de S à Si en changeant simplement w en ■-

Mais il est une [autre équation du quatrième degré que présente également la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, et à laquelle se ramènent d'une manière plus immédiate encore les équations (i) et (2). Je veux parler de Ja

relation entre le multiplicateur M et le modale /f, qui est, en faisant^ =:=^('):

En comparant cette équation avec l'équation (i), introduisant le module

et faisant usage de l'expression de M donnée par Jacobi dans les

(^) Jacobi a appelé le premier l'attention sur ces équations qui offrent un grand intérêt, en particulier pour cette théorie de la multiplication complexe, sur laquelle M. Kronecker a récemment communiqué à l'Académie de Berlin, des résultats aussi beaux qu'importants. Mais, jusqu'ici, on ne connaissait que l'équation donnée par Jacobi, et qui se rapporte à la transformation du cinquième ordre. Celle que j'ai employée a été calculée par le P. Joubert qui, suivant l'exemple donné par M. Solinke pour les équations modulaires, s'est occupé avec succès de leur formation, et les a obtenues pour le cinquième, le septième et le onzième ordre, sous les formes suivantes :

(M — i)s('m — ' W >- Pk'ni' =: 0,

/f'MM-f-i)' (^M — ~) 4-/f^(M -i)^ ("lAU- M

k"" ( M + i)" / M - — j 4- /f^ ( M - i)ii (M +

-}- 2l.29A-2A-'2i\P+ 212/C2A'2( A2__ ^.'2)]yi1 , 33 . 2^ /f Vr'^ iA'P :=: 0 .

Un autre résultat très intéressant, obtenu aussi par le P. Joubert, consiste en ce que, si l'on nomme M, M', M", etc. les racines de l'équation pour le cinquième ordre, la fonction suivante des racines analogue à celle qui m'a donné la résolution de l'équation de M. Jerrard, savoir :

ce = ( M — M ' ) ( M" — M'" ) ( M^^' — lA'P' ) ,

satisfait à cette équation

;r(;r2-f- 5^TVr2A-'2)2 :^ 52.222^'.A-'M' - 4A2A'2) v/'5.

[M. Hermite donne ici la substitution qui peut ramener l'équation à la forme de Jerrard; mais, comme elle n'est pas exacte, nous ne la reproduisons pas.] E. P.

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Fiindanicnta, on obtient, pour les quatre racines S, les valeurs suivantes :

[ sin2 am ^ K sin^ am ^ (K + «K')

sin"^ coain ^ K sin^ coam | ( K + f K')

sin^am^jK' sin^ am ^ (K — i K')

' si n 2 coam ^ i'K' sin^ coam -^ (K — iVJ)

A ces formules je joindrai celles qui représentent les racines A de l'équation (3), et où les fonctions elliptiques ont encore le même module, savoir :

I I -H cos2 am ^ K i -+- cos^ am ^ (K -f- tK')

] ^ sin'^ a m - K ' siii- ani - (^ K -f- t K')

T -^ cos'2 a m ■ iVJ \ -4- cos^ am ^ (K — iYs!)

sin- a m - t K' ^ sin'^ am - (K — i\{l)

Voici donc, au point de vue où je me suis placé dans mes recherches sur l'équation du cinquième degré, la résolution de ces équations spéciales du quatrième degré qui s'offrent dans la théorie des formes cubiques à trois variables. Ces résultats, ainsi que je l'ai dit plus haut, ouvrent la voie pour traiter d'une manière analogue l'équation générale, et parvenir à exprimer séparément les racines par des fonctions bien déterminées. Mais, avant d'entrer dans cette recherche, qui exige des principes dont je parlerai dans un autre article, je ferai encore une remarque essentielle sur les formules précédentes. Elles dépendent du radical y^S, et il importe de bien saisir de quelle manière elles subsistent dans leur ensemble lorsque l'on change le signe de ce radical. Considérons en particulier les formules (5); on reconnaît d'abord qu'en mettant — y/S au lieu de y^S, le module se change dans son complément. Or, on sait par la théorie de la transformation que le multiplicateur M, lorsqu'on j remplace k par hJ ^ se change en — M. Nos formules restent donc les mêmes, parce que les deux facteurs

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EQUATION DU QUATRIEME DEGUE. 'ij

qui y entrent deviennent simultanément de signes opposés. Chacune des racines cependant ne reste pas la même lorsque l'on change ainsi le module dans son complément, oa w en — — , et le Tahleau suivant, montrant de quelle manière elles s'échangent alors les unes dans les autres, fera bien complètement saisir toutes les conséquences de l'ambiguïté inhérente au radical que nous avons employé :

sin2 am - K

SI 11- coam - K