BX

-AX«-i BX^^-2

on pourra immédiatement obtenir <ï>, en faisant dans o, en premier lieu :

T,- = (ao — Py) (a -i- [3îB)«-2-/(y + SCB)S

l T,,2 = (aS - Py) (y + 8îBy^-2^

50^/5 /a condition qu^après les développements on remplace cB^ par toi^ de manière à parvenir à des expressions linéaires en ^0? ^\) • • -7 S/2-2 5 ^'^ second lieu, et pour ce qui concerne T, la valeur à substituer se déduira de la relation

jiai: -^(n — i)bTo-\- (n- - 2) c T-i +. . .-H 2^T;,3 + /^T;,2

= 7lAS + (71 — l)Bî5o -H (/i ~ 2) G^l +...-}- 2G^/i-3 -H H^,i 2.

On remarquera la liaison qu'établit cette proposition entre les deux groupes d'indéterminées Tq, T,, . . ., T,^2, ^o? ^i? • • •? S/2-2? et le rôle entièrement séparé de l'indéterminée T. Ces relations (2), indépendantes des coefficients a, 6, . . ., ^, A, représentent précisément ce que M. Sjlvester a nommé ane substitution congrédiente avec la substitution binaire

et le sens qu'on doit attacher à cette expression se trouvera nettement fixé par cette proposition :

Désignons respectivement par S et (S) les substitutions (3) et (2); si l'on obtient S en composant deux substitutions analogues S', S'^, de sorte qu'on ait

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la substitution i^è) sera de même coinposée de deux autres, et, si Von représente par (S^) et (S'^) les substitutions déduites de S^ et S^'', diaprés la même loi que (S) de S, on aura la relation

De là résulte que toute fonction des quantités P,, Po, ..., P/^, indépendante de T, par exemple toutes les fonctions symétriques des différences des racines y^ seront, par rapport à Tq, Ti,..., T/^2,

des covariants de la fonction homogène J^^fi - ) • Telles seront en particulier les quantités

(^ — l) Pf--'2nP9, (/l — l)(/l — 2)Pf — 3/z(71— 2)PiP2 4-3/l2P3, CtC.

qui jouent le principal rôle dans les recherches que j'espère pouvoir bientôt communiquer à l'Académie sur la réduction de l'équation du cinquième degré à la forme obtenue par M. Jerrard. Mais, en ce moment, c'est aux équations du quatrième degré que je vais appliquer ces considérations, afin de les réduire à la forme

et par là d'en conclure les expressions de leurs racines au moyen des fonctions elliptiques. Je me fonderai à cet effet sur cette remarque que, dans cette équation, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques auxquelles elle a été comparée, savoir :

^îp 6 22„8([ — 2A'2)^~3 = o,

l'invariant quadratique est nul. Or toute équation du quatrième

degré

A ^^ -h 4 Bx^ -{- ^Gx^ H- ciBx -^E — o,

où l'on suppose cette quantité

I =r AE — 4BD-i- 3G^- = o,

devient, en y remptaçant x par — -r — ,

^v G(B2 4-AG)^2|4(A2D — 3ABG-H2B^):r — 3(B2 — AC)2 = o;

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THÉORÈMES d'ALGÈBRE ET ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ. 35

ce qui est bien la forme de l'équation (4). Etant donc proposée Féquation générale

ax''- -I- 4 bx^ 4- 6 ex- -V- 4 dx h- e = o,

essayons de déterminer la substitution

y = o{x) = aT -1- ax

To -i- ax'-

H- ax^

-4- 4 bx

-H 4 bx

-{-6 ex + 4^^

de manière que, dans la transformée que nous écrirons ainsi

y. | 4 p^^3 ^ GP,^.2 ^ 4 p^y ^ p^ ^ o,

l'invariant quadratique soit égal à zéro. On devra poser

P4-4PiP3H-3Pi=.o,

relation du quatrième degré par rapport à To, T, , To ; mais, ce qui justifie-^précisément le mode de réduction que nous avons en vue, c'est qu'elle se décompose en deux facteurs, de sorte qu'en posant

î=ar'^ -l-4cTf-{-eT|-H4^^TiT2 + 2cToT2-l-4^ToTi,

l ~ ae — [\bd-\- oc^,

J r= aee -H ibcd — ad'^ — eb- — c^,

on aura l'une ou l'autre de ces équations du second degré seulement

IfH-( GJ-

/r^-27JM(ToT2 — Tf):

If-{- GJ-

/J3,^7J2 (T/r2-Tf)=:0.

On pourra donc, et d'une infinité de manières, en s'adj oignant de simples racines carrées, déterminer une substitution qui ramène toute équation de cjuatrième degré à l'équation (4), dont les racines ont été exprimées par les fonctions elliptiques. Et l'on remarquera que f est bien un co variant de la forme

f = ax'' -H 4 bx^y -i- iSex'^y'^ H- 4 dxy^ -f- e/^,

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car cette quantité peut s'obtenir en remplaçant, clans l'expression

^-, xy^ y- d'une part, ^-, ^t,, 'f\- de l'autre, respectivement par T„, T^, To ; d'ailleurs I et J sont les deux invariants et T^ — 27 J- le discriminant.

Mais il est une autre équation que présente la théorie de la transformation du troisième ordre et à laquelle on pourrait, par

une substitution de la forme y =: -^ ^7 ramener éeralement toute

équation du quatrième degré. Soit, en général, pour un ordre quelconque ;i,

en partant des expressions données dans les Fandamenta pour A et )/, et d'où l'on tire

^, siii coam'ioj.sin coaiii 4 w, . , . , sin coam(/i — -1)0) A a 11 1 '2 eu . A a ivi j to , . . . , A a 111 ( /i — i ) co

le P. Joubert a fait la remarque importante que les fonctions rationnelles symétriques des diverses valeurs de V qui correspondent à toutes les déterminations de co, ne dépendent que du produit du module par son complément, de sorte qu'il existe entre V et U une équation de degré /i + i , analogue pour plusieurs propriétés essentielles (') à l'équation modulaire entre ^ et u. Par exemple, pour /z n= 3, /z = 5, ji-:=z n^ \q calcul cfTectué par le P. Joubert donne les relations

Y6 jGUn^^-i-i5U2Y*-f-i5U^'V2-i-4Uy-4- U6--:^o, V8 — e/iUn^' -F7.48U0VS— 7.96 U^y^ -t-y.g^U^'V-'" — 7 .48 U3 Y3 -h 7.19. U2 Y2 8 UV -H U8 r= o.

C'est la première qui pourrait servir à l'objet que nous indiquons; mais je me bornerai, en terminant cette Note, à montrer qu'elle donne un nouvel exemple de ce rapprochement que j'ai essayé de

(^) Ces propriétés seront l'objet d'un prochain article.

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THÉORÈMES d'aLGÈIîRE ET ÉQUATION DU QUATRIEME DEGRÉ. Sj

faire ressortir, entre la théorie de la transformation pour le troisième ordre et celle des formes cubiques à trois indéterminées. Effectivement, le paramètre / qui figure dans la transformée canonique

cv^ -f- jK^ -h -5^ H- 6 Iccjz

dépend des invariants S et T, ou plutôt de S et S, par l'équation

l^ — l j ^ 8/-^ -4-1 " 4 Si*

Or il suffit, en introduisant une seule indéterminée, de poser 1= pY pour la ramener à la relation entre V et U. De là résulte qu'en prenant pour modide

•2 s/S--^ et posant, pour abréger,

cp — ^- (mK -+■ m' ili!)

a ces expressions des trois quantités ô, A et /, savoir :

^ /7T sin^amo i ,^ i-i-cos^amo , S Aamo

sin^coamcD 2 sin^aiii'-p oi sin coamcp

Dans ces formules Jii et m^ peuvent être pris égaux à deux nombres entiers quelconques, pourvu qu'on ne les suppose pas en même temps nuls ou divisibles par 3.

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SUR

C. R., t. XLVJIT, 1859 (I)? P- 940-1079-1096; t. XLIX, 1809(11), p. i6-[io-i4i.

On connaît toute l'importance dans la théorie des équations algébriques de cette fonction des coefficients à laquelle a été donné le nom de discriminant^ et qui représente le produit symétrique des carrés des différences des racines. Aussi les géomètres ont-ils recherché, surtout dans ces derniers temps, les méthodes les plus propres à en abréger le calcul. Mais, dans les applications à une équation donnée, ces méthodes générales sont le plus souvent impraticables en raison des opérations laborieuses qu'elles exigent. C'est cette difiiculté qui m'a longtemps arrêté pour former la réduite du onzième degré de l'équation modulaire du douzième, la fonction des racines que j'ai employée pour effectuer l'abaissement conduisant dans les trois cas du sixième, du huitième et du douzième degré à calculer le discriminant de ces équations. J'ai donc essayé d'étudier en général le discriminant des équations modulaires, en prenant pour point de départ les expressions des racines sous forme transcendante, dans l'espérance d'arriver à un calcul qui pût être effectué au moins dans le cas que j'avais en vue. J'y suis effectivement parvenu, et j'ai vu en même temps cette recherche conduire, par une Yoie aussi simple que naturelle, à d'importantes notions arithmétiques et à des propositions qu'on ne trouvera pas, j'espère, sans intérêt, sur les sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déterminants suivent une certaine loi. M. Kronecker a déjà donné dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin (séance du

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THÉORIE DES ÉQUATIONS MODULAIRES. Sg

29 octobre 1807) les énoncés de plusieurs beaux théorèmes de cette nature; ceux que je vais établir dans cette Note et qui, si je ne me trompe, tiennent à d'autres principes, contribueront, je pense, avec les propositions dues à cet illustre géomètre, à jeter un nouveau jour sur une des plus importantes théories de FÂrithmé tique, en la rattachant par de nouveaux liens à l'Algèbre et à l'Analyse transcendante.

Soit n un nombre premier et 0(c', ;^) = o l'équation modulaire de degré /? + i ; en faisant, pour abréger^ s == ^ - K on trouve très aisément que le produit des carrés des difîPérences des racines (^, prises deux à deux, et que je désignerai par D, a la forme suivante :

D = z^'^+i(r— u^)'^+'-{a(,-\~ aiu^-^ a,u^^-^.. .-I- avU^^),

le polynôme a^-^- a^u^ -^ ... étant réciproque, c'est-à-clire que €11^=^ cu,i^ et ne contenant ni le facteur u^ ni le facteur \ — u'^ \ quant au nombre v, il a pour valeur

Cela posé, je vais en premier lieu établir que D est un carré parfait. Je me fonderai pour cela sur la relation importante donnée par Jacobi, entre le multiplicateur M, le module proposé et le module transformé, savoir :

En posant

, X(.->.^) dk n k(\ — k'-) dX

^^® fi/ ^ '^® ^/

de sorte qu'on ait, en vertu de l'équation modulaire,

du 6 ( (^ , u)

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4o OEUVRES DE C II A RLE S II lî RM I T E .

cette relation, si Ton introduit u el v au lieu de \/ k et y^X, deviendra

n u{\ — ii^)S"l p, u)

D'ailleurs, les valeurs correspondantes de v et de M sont, comme on sait,

ç -zrz ^^/^[sin coamsp sin coam 4 p • • • ?ui coam(/i — Opl^

sin coani2 o sin coam 4 p . . • sin coam {a — i) " P

P . . . si n coam {a — i ) " 1 " 1 . . . sin am (/i — i) ^ J

sin amiip sinam4p .

de sorte qu'en faisant

K iW K-f-tK' {n — \)K-^i\\'

n n II n

on obtiendra simultanément les /^ + i valeurs de M et les n -f- i racines v^^ ç^^, ..., {>,i de l'équation modulaire. Or les équations entre M et/r ont pour coefficients des fonctions entières de /r, celui de la plus haute puissance de M étant l'unité, et le dernier la con-

s tante numérique ^^ > de manière que le multiplicateur ne

peut jamais devenir nul ou infini pour une valeur finie de k. Cette propriété importante, qui est due au P. Joubert, montre que les valeurs de p et a^ qui satisfont à l'équation modulaire et à sa dérivée 6(p, z^) =: o, annulent nécessairement aussi le dénominateur de M et, par suite, 3((', u)^ si l'on exclut les cas limites, u = o^ u^z=zi^ auxquels correspondent, comme on sait, r = o, (^^=1. Cette restriction faite, on peut conclure que toutes les autres solutions simultanées des équations 0(i', z/,) = o, 0((', u) = o sont doubles; elles annulent, en efî'et, la déterminante fonctionnelle

de dQ

de d{)

di> du

du dv

ds>

car, à cause de l'équation 9 = o, cette déterminante contient le facteur S(i^, u). C'est dire que tous les facteurs du discriminant, autres que u et i — u^ ^ y entrent au carré, d'où résulte que le polynôme a^-r ct\ u'^ -\' ..., qui ne contient pas ces facteurs et, par suite, le discriminant lui-même, est un carré parfait. A la érité pourrait-on demander en toute rigueur de démontrer qu'il

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THEORIE DES EQUATIONS 31 0 D U L A I R E S . 4 '

ne renferme pas de facteurs triples ou élevés à une puissance impaire. Mais ce point sera lui-même complètement établi plus tard, à l'aide d'une remarque que je dois encore placer ici. Multiplions membre à membre les n -\- i équations qu'on déduit de la relation

en y remplaçant successivement i^ par toutes les racines de l'équation modulaire. Comme le produit des valeurs de M est dz - » on trouvera, en employant, pour abréger, le signe de multiplication II,

ïlç(i — v^) 170((;, u)

Mais on sait que on en conclut (') que

et il vient par conséquent

Or, au signe près, n9(^, u) est le discriminant, et cette relation montre qu'on peut le considérer comme provenant de l'élimination de c^, entre les équations

la seconde étant la dérivée -y-- Gela posé, faisons le changement de ^ en u^ et de u en tv] d'après une propriété fondamentale des équations modulaires, 6 ne changera pas, -y- == o deviendra par conséquent — = o, et le discriminant, lorsqu on y aura mis z^^ au lieu de u^ représentera le résultat de rélimination de u entre les

(^) Il suffit pour cela de poser ï^ = ^(w), puis de changer w en •> et d'élever les deux membres à la puissance huitième, les racines t^^, ç^, ... étant ainsi devenues : y i ~" ^iÎj v ^ — ^'i? etc.

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équations

Mais, D ne contenant que des puissances paires de ;^, ce changement reviendra à écrire la lettre c an lien de u^ d'où cette conséquence qne l'ensemble des valeurs égales des racines v^^ c^, ...y v,i^ ne diffère pas de la série des valeurs de u qui font acquérir à l'équation modulaire ces valeurs égales.

Après avoir établi que le discriminant est un carré parfait^ ce qui permet d'écrire désormais

si l'on pose

nous introduirons la transcendante dont j'ai donné ailleurs (^) la définition et les propriétés fondamentales, en faisant

et c'est ainsi que nous parviendrons à représenter explicitement toutes les racines du polynôme ô(^(^), en donnant pour chacune d'elles la valeur de (o. Le caractère principal de ces valeurs consiste en ce qu'elles sont l'une des racines toujours imaginaires, celle où le coefficient de ^ {-) est positif, d'équations du second degré à coefficients entiers, et que nous désignerons de cette manière :

(a) Pco^-h 2Qw -+- R — o.

Nous allons donner le moyen d'obtenir toutes ces équations en les

(^) Co7nptes rendus, i858, p. 5ii.

(2) Peut-être n'est-il pas inutile, pour éviter toute ambiguïté, de dire que la quantité i dont il est question est précisément relie qui figure dans l'expression analytique de 9 (o)) où elle a été introduite en posant g -— e'^".

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déduisant de certaines classes de formes quadratiques de déterminant négatif, mais il est d'abord nécessaire, à l'égard de cette dépendance que nous établissons entre les équations elles classes, d'indiquer la proposition suivante :

A toutes les classes qui ont même déterminant ou seulement à certains ordres correspondront toujours, sauf deux exceptions dont il sera question plus bas, soit deux groupes, soit six groupes de huit équations, telles, que dans un même groupe toutes les équations se déduisent de j'une d'elles, en y remplaçant co par co-|-2/?z, le nombre m étant pris suivant le module 8. De sorte que, si l'on veut avoir seulement les valeurs distinctes de cp8(ca), on ne conservera qu'une forme de chaque groupe, alors et sous cette condition correspondront à chaque classe deux ou six équations (a).

Désignons dans le premier cas par

l'une des équations, Fautre s'en déduira en y remplaçant w par y et il en résultera deux valeurs o('co) et — - — - qui seront deux