S[IR QUELQUES THÉORÈMES D'ALGÈBRE
Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. XLVI, i858 (I), p. 961 .
On sait que Loiile équation /(^) = o peut être transformée en une autre du mêine degré en j^ j3ar ]a substitution jk=?(^)i où ^x désigne une fonction rationnelle. Ce procédé de transformation^ qui est si fréquemment employé en Algèbre, va nous servir pour ramener l'équation générale du quatrième degré aux équations particub'ères qui ont été considérées dans un précédent article, et dont j'ai exprimé les racines au moyen des fonctions elliptiques. Mais, en raison de son importance, et notamment de son application à la résolution de l'équation du cinquième degré, ce mode de transformation m'a paru demander une étude nouvelle, et je commencerai d'abord par en donner les résultats.
Soit
f{x) =z ax'^ -h bx'^-^ M- ... -h gx'^ -f- hx -h /c — o
V équation proposée ; L^ expression la plus générale de ^x sera y. comme on le sait, une fonction entière du degré n — 1 , savoir :
o{x) = t -^ tQX ^ tiX- -{- . . . -H tfi^^^X'^-'^.
Gela posé, en représentant la transformée en y par
l'un quelconque des coefficients, tel que/?/, sera une fraction ayant pourdénominateura^'^~"'^',et pournumérateur une fonction entière,,
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homogène, de degré i par rapport à t^ ^o, t^^ . . ., tn^^i et de degré {il — i)i par rapport aux coefficients a^ b^ ..., /z, k. Ce degré si élevé rend en quelque sorte impraticable le calcul de l'équation en j^; aussi ce qui a été obtenu de plus important par la considération de cette transformée, en particulier le théorème de M. Jerrard sur l'équation du cinquième degré, ne semble établi qu'à titre de possibilité, en raison de l'excessive complication des opérations nécessaires pour parvenir à un résultat effectif. Mais on peut surmonter ces difficultés par la proposition suivante :
Soit
^o-aTo-H^>T,+...-H^T„„ • 1
in-:) = aT,i-:i -h Dlft-^, in-1 = <^ 1 n-l'
Cette substitution effectuée dans la fonction pi la changera en une fonction Pi du même degré par J^apport aux indéterminées nouvelles T, To, T^, . . ., T,^o, mais débarrassée de tout dénominateur, et du degré i seulement par rapport aux coefficients a^ b^ . .^ /z, k. De plus, P,^ sera divisible par a, de sorte que -Vn ne sera cjue du degré n — i par rapport à ces coefficients.
Celte proposition, très facile à établir, conduit à la véritable forme analytique qu'il est convenable de donnera la fonction ^{x)^ de sorte que désormais la formule de transformation sera ainsi représentée :
y ^o{x) = aT
1\ -^ ax-^
-h bx
• hx'^—^
et l'équation transformée par
y'^ -4- Pi K'^" ' -4- P27"~- — . . .-H P/A — o,
tous les coefficients étant des fonctions entières de ceux de f\x).
Une autre conséquence résulte encore de l'introduction des
variables T, Tq, T,, . . ., T,^2. On sait de combien de travaux a
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été l'objet la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées, et combien de notions analytiques importantes cette étude a données à l'Algèbre. Par exemple, ces fonctions désignées sous le nom à^ invariants, en raison même de la propriété qui leur sert de définition, de se reproduire dans toutes les transformées par des substitutions linéaires, donnent les éléments qui caractérisent les propriétés essentielles des racines des équations algébriques, celles qui subsistent dans ces diverses transformées (^). D'autre part, la connaissance acquise de ces fonctions, et de celles qu'on nomme covariants, permet, dans beaucoup de circonstances, d'obtenir sans efforts le résultat de longs calculs qui, sans leur emploi immédiat, n'eussent au fond servi qu'à les mettre en évidence, ou à faire ressortir dans une question spéciale l'une des propriétés dont on possède maintenant la signification la plus étendue. Mais tant de beaux résultats, dont la Science est surtout redevable aux travaux des savants géomètres anglais MM. Gayley et Sylvester, semblent ne pouvoir être utilisés lorsqu'on sort de la comparaison des équations par des substitutions linéaires de la forme
,, • aX-t-3 ,. „ Ix-^ ( I ) ^ = — =7 1^ » OU bien A — ?
pour considérer, comme nous le faisons ici, les substitutions les plus générales. Effectivement, aucune combinaison rationnelle des coefficients /?,, p^^ ..., p,i ne fait apparaître les covariants de l'équation proposée; mais, comme nous allons voir, il arrive que ces quantités se manifestent, au contraire, immédiatement par l'introduction des variables T, Tq; T^, . . ., T,^2. C'est ce qui résulte de la proposition suivante :
Soit
F(X) ^ (yX -+- lyifi'^.^±l\ ^ AX« H- BX'^-i + . . . -h HX -+- K r=. o
s^yX ■ la, transformée par la substitution (r) de Inéquation proposée,
(^) Par exemple, les conditions qui déterminent le nombre des racines réelles et imaginaires dans les équations à coefficients réels dépendent uniquement des invariants, sauf le cas du quatrième degré. J'ai donné ces conditions, indépendamment du théorème de M. Sturm, pour les équations du cinquième degré, dans un Mémoire sur la tliéorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. {Cambridge and Dublin niathematical Journal, année i854. )
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et représentons V expression analogue à o[x)^ niais relative à cette équation, par
