CO -^ J =: O, W- O) -T- I = O

et, quant aux valeurs de 0(0)) qu'elles déterminent, elles dépendent de l'équation

Ainsi le facteur u^^ — u^ -{- i se présentera dans le polynôme ^{u) pour 72-—'-, i3, 19, etc.

Ces préliminaires établis, nous arrivons à la formation même des équations en to. A cet effet, nous considérerons deux séries de déterminants, les uns donnés par l'expression

les autres par celle-ci :

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THÉO R TE DKS ÉQUATIONS MODULAIRES. 4'5

en attribuant à S toutes les valeurs en nombre évidemment fini qui les rendent positives, et nous aurons les propositions suivantes :

Première série : A =: (8S. — d7i){71 — 28).

Pour A^i(mod4), toutes les classes de déterminants — zi peuvent être représentées par des formes (P, Q, R), où Q est impair et R impairement pair. Ces formes fourniront deux équations, dont le type sera précisément

Pw2-1- :j,Qw-i-R = 0.

Pour A^ — i (mod4), les seules classes de l'ordre improprement primitif ou dérivées d'ordres improprement primitifs pourront être représentées de même; les autres seront exclues, et chacune des premières fournira deux ou six équations, suivant qu'on aura A ^ — i ou 3(mod8).

Deuxième série : A'— 8.$(^i — ^8§).

Pour S impair, on exclut les classes où les trois coefficients sont divisibles par 2 ; toutes les autres fournissent chacune deux équations.

Si S est pair, on prend sans exception toutes les classes de déterminants — A^, et c'est alors seulement qu'on rencontre les groupes de classes auxquelles correspondent six équations. Le premier de ces groupes se présente lorsc[ue 8 ^ — 2/2(mod8) ; il est composé de toutes les classes dont les coefficients sont divisibles par 4? et qui, ce facteur supprimé, constituent l'ordre improprement primitif, ainsi que les dérivés d'ordres improprement primitifs ('), de déterminant Le second est donné

par les valeurs de S qui sont multiples de 8, et il est composé de toutes les classes dont les coefficients sont divisibles par 8. L'une quelconque de ces classes, auxquelles correspondent six équations, étant désignée par (P, Q, Pi), conduit immédiatement à

(^) Celte réunion d'ordres qui se présente dans les deux séries de déterminants pourrait être appelée simplement le groupe improprement j^rimitif; ce serait ainsi Fensemble des classes (A, B, G), où B est impair, A et G pairs, ces trois nombres pouvant avoir d'ailleurs un diviseur impair quelconque.

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4C) OEUVRES DE CIIxVRLES HERMITE.

l'équation type

mais pour les autres, auxquelles correspondent deux équations, et qu'on peut représenter ainsi :

p étant I, 2 on 4, et A, B, G n'étant plus à la fois divisibles par 2, il sera toujours possible de déduire de (A, B, G) une transformée (P, Q, R) où P est impair, R pair, et l'équation en co sera

encore

Une observation essentielle doit être enfin jointe aux propriétés précédentes : c'est que, dans la série des équations dont nous devons donner la formation, jamais on n'obtiendra deux fois la même, si l'on a égard à ce qui a' été précédemment dit relativement aux classes dérivées des formes (i, o, i) et (2, i, 2). La considération des formes réduites permet de le démontrer très aisément, et il en résulte cette remarque qu'un nombre premier n'a qu'une seule représentation dans le groupe des formes de même déterminant où le coefficient moyen est nul.

Pkisieurs des résultats précédemment établis s'étendent aux équations plus générales qui fournissent la relation entre les modules pour toutes les transformations des fonctions elliptiques. Geux que je vais indiquer, en considérant pour l'ordre de la transformation un nombre n impair sans diviseur carré, montreront, je pense, l'intérêt qui m'a attaché à ces reclierclies, auxquelles j'espère donner par la suite de nouveaux développements. Dans ce cas, l'équation rationnelle entre (^ = y/X et u = '{/ k. est d'un degré égal à la somme des diviseurs de /^, et le premier point que j'ai dû établir consiste en ce que, si l'on pose « = ^(w), les racines seront représentées ainsi :

/oco-f- iG/nX

\ oi /

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S et 6j étant deux diviseurs de /?, de sorte que n = SSi, ni étant

pris suivant le module 5, et (ijj ayant la signification habituelle

relative aux nombres composés.

Considérant ensuite le produit des carrés des difiPérences des racines, j'ai trouvé qu'en le désignant toujours par D, on avait

OÙ N, N^ et V sont des nombres entiers dont la détermination dépend des fonctions numériques suivantes, qui s'offrent pour la première fois en analyse.

Soient S et S^ deux diviseurs de /i, tels que l'on ait

la première de ces fonctions sera la somme de toutes les quantités SS^, et je la désignerai ainsi :

Le seconde A^^^ sera définie comme la précédente, mais en employant seulement pour S et S' les diviseurs de n qui satisfont à la condition

\ 0 / \nl'

Cela étant, si ô)b et dXo' représentent la somme et le nombre des diviseurs de /z, on aura

Ces quantités auxquelles conduit immédiatement le discriminant de l'équation modulaire montrent donc le premier emploi des fonctions A/^, A^'^, qui, si on les prend complètes, c'est-à-dire en introduisant dans les sommes tous les diviseurs de /z, seront de la nature des fonctions numériques qui ont été récemment l'objet de travaux importants de M. Liouville. Mais la limitation So^<< n

(^) 6, ô' ne peuvent être pris égaux en ire eux et égaux à Tunité.

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4 8 OE U V 11 E s D J^ (; Il A R L E s HE K i\I l T i: .

leur imprime un caractère spécial qui rappelle dans la théorie des nombres la notion analytique de parties de fonctions. Telle est encore cette expression de la somme des divise nrs de zi, moindres que y//z, dont M. Kronecker a montré le premier l'usage dans le beau travail que j'ai déjà cité. Et il semble jusqu'ici que ce soit dans l'évalnation des sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déterminants suivent certaines progressions du second ordre, que ces trois fonctions se trouvent appelées à jouer leur principal rôJe; mais, à cet égard, j'aurai surtout pour but de faire ressortir, dans le cas où n est premier, la liaison qui existe entre le degré du discriminant et ces nombres de classes. Pour cela, il est nécessaire que je démontre, comme je l'ai déjà annoncé, que le discriminant ne contient pas de facteurs multiples autres que u et i — ^^^, dont le degré de multiplicité soit supérieur à deux.

Les valeurs de co par lesquelles les racines du discriminant, en exceptant a = o, u^ =^ i, ont été exprimées sous la forme

présentent ce caractère que deux quantités ^(w), ^ (co^) sont essentiellement différentes du moment que co et co^ ne dépendent pas de la même équation; et il en résulte, en premier lieu, que les valeurs communes que prennent respectivement deux racines de l'équation modulaire pour ?^=:cp(co) et z^ == cp ( co^ ) ne pourront non plus jamais être égales. Ce point établi, j'observe ensuite que le déterminant Q^ — PR de l'équation

étant résidu quadratique de /i, la congru ence

V X- -^ iQ^x -\- K ^^ o ( mod 71 ) admet, si P n'est pas multiple du module, deux solutions réelles

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T II E 0 11 I E DES EQUATIONS ]\I O D U L A 1 1\ K S . i\ v »

qu'il sera toujours possible de représenter par des nombres multiples de i6 :

Gela étant, les deux racines de Féquation modulaire, qui deviennent égales lorsqu'on fait ?/. = es ( to ) , seront

et o

Et dans le cas où l'on suppose P^o (mod/^), la congruence n'admettant plus qu'une solution x ^ [j., on aurait l'égalité

o ( /l OJ ) .

Mais on peut toujours faire en sorte d'exclure l'un des cas, de rester dans le premier, par exemple, en tirant l'équation en co d'une forme quadratique (P, Q, R) où P ne soit pas divisible par n. Cela posé, l'équation modulaire ne saurait présenter non plus,

quand on y fait u = f (w), une troisième racine o ( ~ ) égale

aux précédentes; car [jl'^ devrait nécessairement vérifier, ainsi que [Ji et [Ji^, la congruence P^-^-aQ^ + R^ o (mod/?), ce qui est impossible lorsqu'on suppose le module un nombre premier. Or, ayant démontré que les racines du discriminant ne différaient pas de l'ensemble des valeurs égales des racines (^o? ^m • • •? ^/^ de l'équation modulaire, nous concluons qu'il n'existe pas de facteurs triples dans le discriminant, précisément de ce que trois des cjuantités ç^^ (^j, . . ., i^n ne peuvent jamais coïncider pour aucune valeur finie de co. Ayant donc fait

nous pouvons regarder comme inégales toutes les racines de l'équation 9(i^)=:o; et c'est la proposition que nous voulions établir afin d'arriver à celle-ci :

Pour tout nombre pre/nie/' /i, la somme des nombres cU équations déduites des classes quadratiques de la première série de déterminants — A, et de la seconde série de déterminants — A', est égale au degré du polynôme ^(u).

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30 OE U V II K S 1) i: C II A 11 L E S H E II M I T i: .

Mais en considérant, pour plus de simplicité, les seules équations qui fournissent des valeurs distinctes de ç^(w), nous pouvons remplacer cet énoncé par le suivant :

Soient cr, et cr^ les nombres de classes de la première série auxquelles correspondent deux ou six équations. q\ et <i\, les quantités analogues dans la seconde série, on aura, en tenant compte des classes dérivées de (i, o, i) et (2, 1,2) la relaùon