c7i-hcr,)H-G(ar,-}-Œf>) =v
Tel est donc le théorème, essentiellement limité jusqu'ici au cas où n est premier, que nous allons vérifier par un certain nombre d'exemples, en donnant pour chacun d'eux la série des équations en co, ce qui va nous conduire en même temps à présenter des applications des diverses régies énoncées précédemment pour la formation de ces équations.
A cet effet, j'emploierai pour abréger la notation suivante : (A, B, C) étant une forme quelconque, je poserai
11 deviendra possible ainsi de rattacher immédiatement les équations aux formes réduites, par lesquelles il convient d'autant mieux de représenter les classes, qu'on obtiendra de la sorte les coefficients les plus simples et les valeurs de co pour lesquelles les séries elliptiques présentent la plus grande convergence. Effectivement, si l'on se borne aux équations qui fournissent dés valeurs distinctes de ^^(w), ou même à la seule équation type (voyez Comptes rendus^ p. 946 et § 11 du présent Mémoire ), elle sera toujours l'une de celles-ci :
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T n E 0 R 1 1: D lî s li Q U A T I 0 N s M O D U L A I R E s . 3 1
les indéterminées x et j^ étant remplacées par co et i, et (A, B, C) étant une forme réduite. Je conviendrai enfin de les désigner seulement par leurs premiers membres et de représenter respectivement par S et S^, pour la première et la seconde série de déterminants, les sommes de nombres d'équations donnant des valeurs distinctes pour cp^(co), de sorte que la relation que nous nous proposons de vérifier sera
Cela posé, voici, en commençant par les cas les plus simples, les résultats que l'on obtient :
Le nombre v se réduit à zéro, ^(u) est une constante, et le discriminant de l'équation modulaire U'* — ^^ H- 2 w(^(i — u-ç-) = Oy ainsi que le donne facilement le calcul direct, est
La première série de déterminants fournit la seule valeur A = i ^ d'où la classe (i, o, i), qui par exception donne au lieu de deux équations une seule, (i, o, 1)0. La seconde série de déterminants n'existe pas, et l'on obtient simplement
La première série existe seule et donne A = 3, d'où les deux classes (i, o, 3), (2, i, 2). Mais on ne doit employer que la classe improprement primitive, qui, par exception encore, au lien de six équations, n'en donne que deux, dont le type est (2, i, 2). La valeur D est
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Il, r=: I » , U = 10.
La première série donne A = 7, et la classe improprement primitive (2, 1, 4)^ d'où l'équation Ij^Q (2, i, 4)1- On a donc S =: 2. Dans la deuxième série A'=: 24, et l'on obtient les quatre équations
types :
de sorte que S'=8, S + 2^=: 10.
On verra dans un prochain article comment on parvient ensuite à l'expression (^ ) :
X (i — 3oi 960 ^^8 -H 3 55o 49'^ z^^*"— 2 178 l'^'iii-'' — I 092 o'i^u^'^ — 2 178 232 w'^ + 3 55o 492 li'^^ — 3oi 960 i(J^^ H- u^'^y.
Pour les valeurs plus grandes de /i, je résumerai les résultats dans le Tableau suivant :
(^) Le calcul fait par M. Bourget nous a amenés à modiiier quelques-uns des coefficients numériques donnés par Hermite. E. P.
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THEORIE DES li: Q U A T [ 0 N S RI 0 D IJ L A l R E S .
