TOME II

SUR

A THOIS INDÉTERMINÉES.

Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1^ série, t. III, i858, p. 87.

L'étude des fonctions homogènes du troisième degré et à trois indéterminées conduit à considérer avec une forme donnée de cette espèce deux systèmes différents de fonctions qui s'en déduisent, et dont je rappellerai en premier lieu les expressions. Soit pour cela U la transformée canonicjue de la forme proposée, de sorte cjue

l'on ait

U r= ,r 3 -f- jK^ -H -s-*^ -H 6 / xyz ;

le premier de ces systèmes sera celui des invariants et du co variant cubique, savoir :

HU = /2(^3|^3(53)__(, ^'2^li)xyz.

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Le second système sera formé des deux contrevariants ou formes cubiques adjointes, savoir :

PU =— l{x^^y^-A- z--^)-\-{— I M- ^l^)xyz,

J'omets à dessein les co variants et formes adjointes d'un degré supérieur au troisième, n'ayant pas à m'en occuper ici, et j'observe seulement que les combinaisons bnéaires

aU -f-G^HU, 6aPU-+- PQU,

où a et [3 sont des constantes indéterminées, représentent encore, la première un covariant et la seconde une forme adjointe de U. On en peut conclure que les invariants du quatrième et du sixième ordre de ces deux fonctions, que nous désignerons avec M. Cajlej de cette manière :

S( aU +(5(3IIU),

S(6aPU+ PQU),

T( aU -f-6j3HU),

-T(6aPy-i- PQU),

doivent reproduire des combinaisons rationnelles des invariants primitifs S et T. C'est effectivement ce que ce savant géomètre a mis en évidence en donnant dans les Tables qui terminent son troisième Mémoire sur les qaaiitlcs les expressions complètement développées de ces quatre quantités. En cliercbant à approfondir la nature de ces expressions, j'ai été conduit à un résultat intéressant, non seulement parce qu'il en montre le véritable caractère, mais parce qu'il donne un nouvel exemple de cette étroite connexion entre les formes cubiques à trois indéterminées et les formes biquadratiques binaires, que M. Hesse et M. Aronhold ont les premiers signalée dans leurs belles recherches. Mais je dois rappeler d'abord qu'en représentant une forme binaire du quatrième degré par

f — ax'-" -r- 4 bx^y 4- Çbcx"*- y- -^ \ dxy^ -i- ^ y'* ^ on a, pour les covariants des degrés quatrième et sixième, ces

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