THÉORIE DES FORMES CUBIQUES A TROIS INDÉTERMINÉES

expressions

g = (ac — b^)x'^ 4- \i{ad — bc)x^y -\- {ae -\~ ibd — Sc^)^;^^'^

+ ^i{he — ccl)xy'^ ^ {ec — dP-) y^ , h= {cû-d — 'àabc '\- xb^ )x^

cû- e -h '2 abd — 9 ac'^ -{- 6b^c) x^y ^dabe — i5ac<:/-h lo b'^d)x''y^

— load^-^ iob^e)x^y^

— 5 ade -i- 1 5 bce — i o bd^ )x^y^ ae^ — 1 bde + 9 c- e — 6 cd^ ) xy^ be'^-h 3 cde — 'x d^ ) y^.

Gela posé, je considère la forme biquadratique suivante en a et [3,

savoir :

et si l'on en déduit, d'après les formides qui viennent d'être rappor • tées, les deux covariants g et A, on aura ces formules remarquables, savoir :

S(aU-h6[3HU) = - ^^,

T(aU + 6pHU).--- -h, 64 S-U/a U H- 6 [3 H U ) ~ T2 ( a U -+- 6 j3 HU ) = ( 64 S3 - T2)/3.

Soit en second lieu

/= 48Sa*+8Ta^^p~96S2a2[32.j,4TSaj33— (T^-4-]6S3)pS

on obtiendra d'une manière toute semblable

S(6ccPU-i- j3QU)==- T(6aPU+pQU)=:— -/i, 64S3(6aPU-i-îiQU) — T2(6aPUH-SQU) = (64S3-T2)2/3.

Ces deux formes /du quatrième degré que nous avons employées successivement ont d'ailleurs entre elles cette liaison singulière que, si l'on désigne par /f , Z:^, //, k'^^ les racines de l'équation

les racines de l'autre forme, c'est-à-dire de l'équation

48 S ;r^ ■+ 8 T ^3 g6 s^ j^^ — '^.4 TS ^' — ( T2 + r 6 S -^ ) = o,

seront

Je reviendrai sur ce point dans un prochain travail, où je me propose d'établir entre autres choses cetcC proposition qu'il existe toujours une substitution Linéaire réelle pour réduire toute forme cubique donnée à coefficients réels à l'expression canonique

La même chose n'a pas lieu, comme on sait, ni pour les formes biquadratiques^ ni pour les formes cubiques à deux indéterminées.

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