FORMES CUBIQUES A D EU X IND E T E RM INE E S

On voit maintenant qu'on peut facilement obtenir les maxima de ad et bc en fonction de P, Q, R; le maximum de ad est donné par la valeur limite

B2 = PRrz: D-HQ2,

les racines de la dérivée étant imaginaires à cause de la relation

c'est l'expression

Q3-f-(4D-i-Q2)v/DH-Q'^ 4D

Pour hc il existe deux maxima qui correspondent à

Bczz — Q-f- d/i D-i-Q2 et B = v/i^R = v/DH-Q2,

savoir

DQh-Q3^(1dh~Q2)4/1D + Q^

Maintenant il ne reste plus qu'à chercher de nouveau les maxima de ces expressions, qui seront évidemment donnés en remplaçant Q par sa limite supérieure y/|- \). En choisissant pour hc le maximum maximorum, on parvient aux limitations

j'y joindrai

ad-\-'àbc< {/— D, ac^ — db^ < -^ D,

dont la dernière s'obtient par cette équation

i\/D(ac^~db^) = \/D — B^ -i- Q"^ (D --- B^ h- 4 Q2).

J'arrive maintenant au point le plus important dans la théorie de la réduction, à la recherche des conditions caractéristiques pour les formes réduites. Ces conditions P ±: 2Q >> o, R — P >> o, se M. — IL 7

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gB OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

présentent en effet sous forme irrationnelle par rapport aux coefficients a, b^ c, d^ et il s'agit d'en déduire des relations absolument équivalentes, mais rationnelles. J'observe à cet effet que l'équation du troisième degré dont dépend la forme i, savoir :

4 d;3 3 cp2 ^ — cp3 D/2 = O,

a, comme la forme cubique f{oo^y)^ une racine réelle et deux imaginaires conjuguées. Or, en nommant P^, Q^, R^ et P'^, Q^^, R^^ les déterminants imaginaires conjugués de P, Q, R et posant £ = zh:i, on pourra remplacer les inégalités proposées par celles-ci :

(P-l- ^sQ) (P^-4- 2£Q0 (P'^-i- 2£Q'0 > O, (R - P) (R'— P') (R'- V") > o ;

et alors les premiers membres étant des fonctions symétriques des racines de la forme /(^,j^) pourront s'exprimer rationnellement en a, b^ c, cl. Le calcul auquel on est ainsi conduit s'effectue aisément si l'on observe que J; — o est un carré, et qu'en faisant A — cp = '^^-, les trois valeurs de -^ sont données par l'équation

De la sorte on parvient au résultat suivant :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu^une forme cubique

de déterminant positif D soit réduite sont

On peut, en introduisant le co variant cubique

6 \dx dy dy dx j

les présenter sous cette autre forme

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-3cp2tl;-

en

tire

Or,

en

posant

FORMES CUniQUES A DEUX INDETERMINEES. 99

La question de la réduction des formes cubiques de déterminant positif est ainsi complètement résolue, et c'est l'objet que j'avais principalement en vue dans cette Note. Je la terminerai en indiquant un point de vue sous lequel on peut la rapprocher de la réduction des formes de déterminant négatif, où l'on se sert du covariant quadratique cp=:(A, B, G). A cet effet, j'observe que le second covariant ^ = (P, Q, R) satisfaisant à l'équation

-/y/sy

cp r= A(^ — py) {ca — crr), on reconnaît aisément que cette expression est de la forme

m(c(^ — pyy -f- 7i(cû — a"jK)^,

m et n ajant des valeurs essentiellement positives, de sorte que 4> étant supposée réduite, cp se trouve nécessairement dans le groupe de formes également nommées réduites, mais sous le point de vue propre aux déterminants positifs. Et c'est le premier exemple d'une détermination spéciale pour l'une des formes de ce groupe, qui, sauf le cas des classes principales et ambiguës, se présentent toujours comme réunies, sans qu'il j ait lieu de faire entre elles aucune distinction. On peut donc dire, en dernière analyse, que toute forme cubique de déterminant positif ou négatif est définie comme réduite en même temps que le covariant quadratique

Cp::-(A, B, G).

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