TROIS FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES

Journal de Crelle, t. 57 (1860), p. 871.

(( . . . En posant avec M. Gayley :

.o"=(a, b\ c",f",g%h"){x,y,zY,

j'ai cherché à exprimer le résultant au moyen des vingt déterminants que donne le système

lorsqu'on prend, de toutes les manières possibles, trois colonnes verticales. Pour abréger l'écriture, je les désignerai ainsi :

{abc), {abf), (abg), ...,

de manière que l'on ait par exemple

(abc) = le terme principal ab' c'^ étant toujours pris avec le signe

abc

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EXTRAIT D UNE LETTRE A M. BORCHARDT. lOI

)) Ceci convenu, je distingue dans le groupe des vingt déterminants les deux suivants : {agh) comme premier terme d'un co variant et {bcf) comme premier terme d'un contrevariant par rapport aux trois formes ce, o' ^ d' . Réservant d'en donner plus tard la raison, je me borne en ce moment à développer les expressions de ces deux formes, savoir :

~\-{agli)

xy^

-^{cfg)

yz^-

— (abg) —(bch)

-^(afh) -~{bfg)

zx''- xyz

-f (acf)

-{abf) ~{bgh)

~{bcg) -^(cfh)

-\- {ach) — {abc) -{afg) -i{fgh)

-H ( bcf)

— i^^cg)

-H {abh)

-(bcg) -Mcfh)

-h (ach)

~~{abf) ~{-'i{bgh)

-\-{acf) -^'?.{cgh)

~{abg) — 2 (a/A)

— {bch)

-i-(abc) -Mfgh)

y> Maintenant, si l'on désigne par S/etSF les invariants du quatrième degré de M. Aronhold par rapport aux formes cubiques / el F, le résultant sera

R = SF— ï6S/.

)) Il se trouve donc exprimé au moyen des déterminants du système (A), et l'on voit immédiatement que, si l'on remplace cp, (p^,

(f" par

Xcp -H X'cp'-I- y o" , [jLCp -4- [x'cp' -h |J."cp", vcp H- v'o' -h 'i" ^" ,

il se reproduit multiplié par la quatrième puissance du déterminant

La démonstration suit d'ailleurs du même principe qu'a employé M. Cayley, en remarquant que, si J'on suppose

I dA]

3 dx

3 dy'

3 dz

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U désignant une forme cubique, on aura

/=HU, F== — PU(i).

)) Mais il est un autre point de vue sous lequel on peut envisager la détermination du résultant en recherchant, comme l'a fait le premier M. Sylvester, une expression analogue à celle du discriminant d'une forme cubique. Cette expression remarquable, dont la découverte est due à M. Aronhold, étant 64 S^ — T^, l'analogie que nous voulons suivre conduit naturellement à essayer d'obtenir, par rapport au système des trois formes proposées, deux invariants combinants qui coïncident avec T^ et S^ dans le cas particulier où o, o^, d^ sont les dériA^ées partielles d'une forme cubiqae. Or M. Sylvester a déjà donné une fonction qui, dans ce cas, se réduit non seulement à T-, mais à T lui-même, ainsi l'analogie est à cet égard aussi complète qu'on peut le désirer. Mais il n'en est pas absolument cle même en ce qui concerne l'autre terme du résultant qui, au lieu de devenir S^, se présente comme une fonction linéaire de S^ et T-.

)) Les recherches suivantes conduiront, comme on le veut, à un invariant combinant qui se réduit précisément à S^ ; mais leur objet principal sera surtout de donner un premier exemple de l'extension aux formes à trois indéterminées de méthodes appliquées seulement jusqu'ici aux formes binaires, et que j'ai développées dans un Mémoire du Journal de Mathématiques cle Cambridge et Dublin, i855.

» Je rappellerai d'abord cette proposition dont je ferai souvent usage. Soient /= 7] Vx^y^z^ un co variant et F(^, t,, Q un contrevariant par rapport à une ou plusieurs formes, en opérant avec f sur F de la manière suivante :

on obtiendra un contre variant, et si, d'une manière toute semblable, on opère avec un contrevariant G =: ^Qi'^v]P(^ï sur un

Q 1 r. / Q / sera un covariant.

^ dx^ dy? dz^

(^) Voyez pour ces notations le travail du même auteur publié dans les transactions de la Société Royale sous le titre : A third Memoir upon Quantics.

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