h 'ig -h '2q' -i- 'J.CJ^-r-... X

1 — iq- -^ •>. q^ — 27 ' ^ ^27^2 — ,

I — 'xq- -\- '2 q'^ — '2 7^8 -+- 2 <7 '2 —

En posant

nous désignerons \Jk par îp(o)) et y/ A"' par 'i(oj). Pielativement à cette variable to^ on aura ainsi des fonctions affranchies de l'ambiguïté qui tient au facteur \J q^ et dont je \'ais en peu de mots indiquer les propriétés fondamentales. Elles découlent des relations

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suivantes, dont la démonstration est immédiate, savoir :

cp ( O) H- I ) = e '

^/oj

et nj

d(Jô '

) s'expriment simple-

On en déduit que o , , , k.^ ^ ^ ,

ment en ^(w) et J>(w), a^ b^ c, ri étant des nombres entiers quelconques assujettis à la seule condition

ad — bc = \.

Les relations auxquelles on parvient de la sorte ayant une grande importance, non seulement pour l'objet que nous avons présentement en vue, mais pour la théorie des fonctions elliptiques et ses applications à l'arithmétique, je vais les indiquer en me bornant, pour abréger, aux valeurs de o l — ^-^ — ) • J'observe à cet effet que la congruence

ad — hc ^ i

(mocl 2)

est susceptible de six solutions distinctes renfermées dans ce Tableau :