VI

a + 6co/ ^( w)

Nous rappellerons encore cette propriété fondamentale, qu'en désignant par Ji un nombre premier et posant

(;==cp(/ia)), j^: = cp((jL>),

(^ et i^ sont liés par une équation de degré /z + i , qui présente ainsi un type nouveau d'équations algébriques dont les racines se séparent analytiquement par l'introduction d'une nouvelle variable. En désignant, en effet, par s un nombre qui soit i ou — i , suivant que 2 est résidu ou non-résidu quadratique par rapport à n, les n + 1 racines u seront

, , / co -M 6 /?2 \

£Cp(nw) et Cp f 1;

m étant un nombre entier pris suivant le module ii (^). Mais, sans insister ici sur les autres propriétés remarquables des équations modulaires, je m'attacherai seulement au fait si important annoncé par Galois, et qui consiste en ce qu'elles sont susceptibles d'un

(^) La détermination de s a été donnée par M. Solinke dans un excellent travail publié dans le Tome 16 du Journal de C relie sous le titre : yE quatioJies modulares pro transformatione functionum ellipiicarurn.

lO OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.

abaissement au degré inférieur d'une unité dans les cas de

n = 5, n = ~ et n = ii.

Bien que nous ne possédions que quelques fragments de ses travaux sur cette question, il n'est pas difficile, en suivant la voie qu'il a ouverte, de retrouver la démonstration de cette belle proposition; mais on n'arrive ainsi qu'à s'assurer de la possibilité de la réduction, et une lacune importante restait à remplir pour pousser la question jusqu'à son dernier terme (^). Après des tentatives qui remontent à une époque déjà éloignée, j'ai trouvé que dans le cas de l'équation modulaire du sixième degré

on j parvenait aisément en considérant la fonction suivante :

Effectivement, les quantités

^(w), 4>(w-hi6), <ï>(a) -f-2. [6), *(w-t-3.i6), <ï>((o+4.i6)

sont les racines d'une équation du cinquième degré dont les coefficients contiennent rationnellement o((jô)^ savoir :

<|>o .^K 5"« *cp'-(w) i];'6(tj(^^ 2^ /55 cp;î(w) 4>i6(^a)) [i -j- ©''( w)] = o.

Or on voit qu'on ramène cette équation à celle de M. Jerrard en faisant simplement

car il vient par là

1 I -I- cpSf w) ^■' — ^ — 7-7^ -TT — r-n — — = O.

\/y6 cp2(co)tî;.(co)

(^) Postérieurement à mes premières recherches restées inédites, mais dont les résultats avaient été annoncés {Œuvres de Jacohi, t. II, p. 249), un géomètre italien distingué, M. Betti, a publié un travail sur le même sujet dans les Annales de M. Tortolini.

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IlESOLUTION DE L EQUATION DU CINQUIEML] DEGHE. If

Donc, il ne restera plus, pour arriver à l'expression des racines de

l'équation

par la fonction ^(w), qu'à déterminera ou plutôt cp(to) parla condition suivante :

Soit, pour simplifier,

et prenons pour inconnue cp'' (oj) ou le module k lui-même de l'intégrale elliptique; on parviendra à une équation du quatrième

degré

qui est susceptible d'une solution analytique sous le point de vue précisément où nous sommes placé en ce moment, car, en faisant

on trouvera ces expressions des racines

- a a -+- '2 Tc TU — a 3 tt — a

/c^lang-, truig 7 taiig — - — ; tang

Faisant choix de l'une d'elles pour module, afin d'en déduire la valeur correspondante de w, on aura, pour les racines de l'équation de M. Jerrard, ces valeurs de x

1 4>(w) I <ï>(w-hi6) I *(wH-2.i6)

I *t>((j«3-f-3.i6) I tï'(w-4-4.i6)

y:^6 cp(w)d>^(w)' v/I^ ?(w)'{>Hw)

C'est donc la résolution de l'équation, en tant que les racines se trouvent représentées séparément par des fonctions uniformes. Quant au calcul numérique, la convergence extraordinaire des séries qui figurent au numérateur et au dénominateur de ç(w) le rendra très court, même dans le cas où q sera imaginaire, car on

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sait que son module peut toujours être abaissé au-dessous de la

limite e ^4 - o,o658. On peut aussi faire le développement suivant les puissances ascendantes de q^ ce qui donne, en pesant pour

simplifier ^^ == q,

et l'on trouverait, pour le carré et le cube de <ï*(tJL)),

cï>2(w) - '235 J/i1l^(i + 2ii — ii^-hSii^ — i8ir — 33ii6 4- i4ii7 t-. ..),

<Ï)3(ol)) — /29 53 v/llHl -H 3 11 — 2 ^3 + 611^ — 24 ir 7911^ + ' • •)•

La première des séries entre parenthèses manque des puissances de ij dont l'exposant est ^e 4, mod 5, la deuxième et la troisième des puissances dont les exposants sont respectivement ^ 3 et ^ 2, mod 5. D'ailJeurs le changement de (o en 03+ i6^?2 reviendra à multiplier la quantité i\ par les diverses racines cinquièmes de l'unité.

J'observerai enfin que le système des cinq fonctions <Ï>((o+ï 6 m)

possède, par rapport aux substitutions -. — qui appartiennent a

la première classe, des propriétés toutes semblables à celles de (p((jL)). Efi'ectivement, en faisant, pour abréger,

on trouvera, par exemple,

\ l H- 2 rt (0 /

l'indice du troisième degré en m étant pris suivant le module 5.

Dans l'une des prochaines séances, j'aurai l'honneur de présenter à l' Académie les résultats analogues aux précédents et auxquels je suis parvenu, pour Ja réduction de l'équation modulaire du huitième degré au septième et de l'équation modulaire du douzième degré au onzième.

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