I -h q^n-M "^ 2 "^ ^ 7| qm-1^ 7}l = l 7»JrrM

Or, en remplaçant —^ ^, apr ri — , la première somme

est

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et ces divers termes, respectivement ajoutés à ceux de la seconde, savoir :

donneront autant de fois l'unité qu'il y a de termes, c'est-à-dire — ^; joignant à cela la fraction - qui correspond au terme du milieu, il vient en définitive

ce qui est bien le résultat auquel il fallait parvenir. Enfin, si l'on suppose M négatif, on observera que l'expression que nous avons considérée change de signe avec M, de sorte que

-/M— w. \ ^-^ / T q—ll—7n

jÙ\i-{-C/f>^ I-H^M-my ^mà\l-^C

■ q-'Si-'^i

En effet, si l'on met dans le premier membre m + M au lieu de m, on obtiendra identiquement le terme général de la série du second membre.

Après avoir ainsi montré par un exemple important de quelle manière les nouveaux développements peuvent, comme ceux qui ont servi de base à la théorie, conduire aux propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, nous allons présenter à un point de vue plus général la comparaison entre les deux modes d'expressions, en donnant sous forme de série périodique simple une fonction uniforme quelconque à double période.

IV. — Développement en série de sinus et de cosinus d'une fonction doublement périodique.

Nommons F(5) la fonction proposée, a et h ses périodes; voici en premier lieu comment nous définirons les limites delà variable, entre lesquelles sera successivement représentée cette fonction, par un développement en série de sinus et de cosinus qui mettra en évidence, par exemple, la période a. Observons, à cet effet,

que l'expression

z =1 at -^ bu.

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en supposant réels t et u^ peut représenter toute quantité imaginaire, et que, s'il s'agit d'obtenir toutes les valeurs que peut prendre F (5), il suffira, eu égard à la double périodieité, d'attribuer à t et II toutes les valeurs réelles comprises entre zéro et Funité. Nous appliquerons cette remarque aux racines de l'équation = o dont dépendent les limitations que nous avons en

vue, et en suivant l'ordre croissant depuis zéro à l'unité des valeurs de «, nous les désignerons par Çi, Ç2? ' * -7 ^m de sorte que 'Qi corresponde ku= ui. Cela posé, soit u/ une quantité comprise entre ui et UiJ^^ (^), les limites exclues, l'expression

¥{at-\- bui)

ne pourra devenir infinie pour aucune valeur réelle de ^, et donnera lieu par suite au développement

F(at-^bui)=::^ki

) fljuim

convergent quelle que soit cette variable. Par conséquent, si les quantités ^t sont en nombre égal à [a, l'ensemble des p. séries suivantes :

représenlera F(^) pour

AW e2^/^m^^

z ~ at -^^ bu^

t étant quelconque, u moindre que l'unité, mais toutefois en

excluant les quantités

at -h bui^

ai -f- 6^2?

at -f- bu^^.

(^) La quantité Uj poun^a être supposée comprise non seulement entre Wj et zéroj mais encore entre zéro et la valeur négative de ?« la plus petite, abstraction faite du signe.-

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Et si l'on reproduit périodiquement les mêmes séries, en faisant croître u depuis l'unité jusqu'à l'infini, et décroître depuis zéro jusqu'à l'infini négatif, on aura embrassé toute l'étendue des valeurs imaginaires de l'argument et obtenu, sauf les restrictions indiquées, une représentation complète de la fonction. Cela bien compris, nous allons donner la détermination des quantités A„^.

Pour cela nous emploierons la proposition fondamentale du calcul des résidus, exprimée par l'équation

/ ï{z) dz — 2t7rA,

OÙ le premier membre rejDrésente l'intégrale d'une fonction uniforme f(^), prise le long d'un contour fermé quelconque, et A la somme des résidus de f(s) pour toutes les valeurs de la variable, qui correspondent à des points renfermés dans ce contour. Cette proposition de M. Caucliy, appliquée au cas où le contour est un parallélogramme ayant pour affixes de ses sommets les quantités

et pour équations de ses côtés ces relations où la variable croît de

zéro à l'unité, savoir :

z — p H- at^

z — p -^ a -+- bt,

z — p -^ b -h a{] — t)^ z — p ^ b{i — ^), donnera

ai i(p -h at) dt-\- b j ï(p H- a -H bt) dt

— a I ï[p-^- b -i- a{\-'t)\dt — b j ï[p -\- b{\ ~ t)\dt ^ 2jttA,

ou plus simplement

l a j i{p -t- at) dt ^- b j i\p -^a-\- bt) dt

^af î{p-^rb-k-at) dt--b j ï(p -\- bt) dt =z 'lir.l.

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D'ailleurs, et d'après la signification précédemment indiquée, A représentera la somme des résidus de f(^) pour toutes les racines (^ de l'équation 7- — === o, dont les valeurs peuvent être représentées par la formule

"Ç ^=^ p -^ at -^ bic^

en supposant ^ et a compris entre zéro et l'unité. Cela posé, l'équation

donnant

nous appliquerons la relation (i) en faisant

Gomme on a évidemment

en posant, ainsi que plus haut,

i TT -

Il = e ^ le premier membre de l'équation (i) se réduira à

Quant au second, c'est-à-dire à la somme des résidus de la fonction

pour j3 = '(^,, (i^o, . . ., S^p., nous supposerons pour simplifier que ces quantités soient des racines simples de l'équation r— — - — : o; alors, en désignant par R/ la limite de £ F(!^/ + s) pour 2=0, on trouvera immédiatement

. ■ /^^^i / . • ^1 .s:, . La

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On en conclut le développement cherché de la fonction F (s) pour z =. at -^ b\J\ sous cette forme

{z)=z const.-h